56.Матрица лин. Оператора в данном базисе. Примеры.

Пусть V – лин. пр – во с базисом е1,е2,…,еn и f – лин. оператор.Допчстим,что[f(e1)=a11e1+a21e2+…+an1en;…;f(en)= a1ne1+a2ne2+…+annen],т.е. (f(e1),f(e2),…,f(en))=(e1,e2,…,en)·A, где

	a11	a12	…	a1n
А=	a21	a21	…	a2n
	…	…	…	…
	an1	an2	…	ann

Пуст х – произв. вектор с разложением х=ξ1e1+ξ2e2+…+ξnen и f(x)=η1e1+η2e2+…+ηnen.Определим коорд образа,зная коорд. прообраза:f(x)=f(ξ1e1+ ξ2e2+…+ξnen)=ξ1f(e1)+ ξ2f(e2)+…+ξnf(en)=ξ1(a11e1+a21e2+…+an1en)+ξ2(a12e1+a22e2+…+an2en)+…+ξn(a1ne1+a2ne2+…+annen) =>[η1=a11ξ1+a12ξ2+…+a1nξn; η2=a21ξ1+a22ξ2+…+a2nξn;…;ηn=an1ξ1+ an2ξ2+…+annξn], т.е.:

η1		ξ1
η2		ξ2
…	=A·	…
ηn		ξn

Т.о.,коорд. вектора f(x) выр. через коорд. вектора х линейно с пом. чисел Аij =>задавая м.А,полностью опр. оператор f.М.А наз. м. перехода оператора f в базисе e1,e2,…,en и обозн. А^е_f.Примеры:м. единичного оператора – единичная;м. оператора подобия =E·a.

57.Действия над лин. Операторами.Обратный оператор.Невырожденный оператор.Показать,что каждый обратимый оператор имеет толко 1 обратный.

Пусть в лин. пр – ве V опр. операторы f и g.Они – равные,если f(x)=g(x) для любых xєV.Обозн. f=g.Оператор ψ=f+g,опр. как ψ=(f+g)x=f(x)+g(x),наз. суммой.Это - лин. оператор +д – во.Пусть а – число,тогда ψ=a·x опр. так:ψ(х)=(а·f)x=a·f(x).Это - лин. оператор +д – во.Умн. векторов:ψ=f·g=(fg)x=f(g(x)).Это - лин. оператор +д – во.Умн. лин. операторов ассоциативно((fg)φ=f(gφ))и некоммутативно(fg≠gf).

Т(без д – ва):Пусть А и В – матрицы лин. операторов f и g в базисе e1,e2,…,en.Тогда матрицами операторов f+g,af,f·g в этом базисе будут м. А+В,аА,А·В.

Пусть в лин. пр – ве V задан лин. оператор f.Оператор g пр – ва V наз. обратным к f,если gf=fg=ε.(*).Обозн.:g=f^-1.Обр. оператором обл. не любой оператор.В самом деле,пусть f переводит х≠0 в Θ,т.е f(x)=Θ.Тогда,при любом операторе g:gf(x)=g(f(x))=g(Θ)=Θ =>равенство (*) исключено =>f не им. обр. оператора.Оператор,обл. обратным,наз. обратимым.Если f – обратимый оператор и А – его м. в нек – ром базисе,а В – м. f^-1 в этом же базисе,то из (*):АВ=ВА =>B=A^-1.

Опр.:лин. оператор наз. невырожденным,если его м. не вырождена,иначе – вырожденным.Для сущ. обр. оператора f^-1 Н и Д,чтобы f был невырожденным.

Т:каждый одратимый оператор им. единственный обратный. Действ., если f им. 2 обратных оператора – φ1 и φ2,то φ1fφ2=φ1ε=φ1 и φ1fφ2=εφ2=φ2 =>φ1=φ2.*

58.Т – ма о связи между м. лин. оператора в разл. базисах.

Пусть А – м. лин. оператора f в базисе e1,e2,…,en;В – м. лин оператора f в базисе e’1,e’2,…,e’n, а м.С – матрица перехода от е к е’,т.е. (e’1,e’2,…,e’n)=(e1,e2,…,en)·C.Тогда В=С^-1АС.

Д – во: (f(e1),f(e2),…,f(en))=(e1,e2,…,en)·A;(f(e’1),f(e’2),…,f(e’n))=(e’1,e’2,…,e’n)·B (1)=>(e1,e2,…,en)=(e’1,e’2,…,e’n)·C^-1.(f(e’1),f(e’2),…,f(e’n))=(f(ΣCi1ei),f(ΣCi2ei),…,f(ΣCinei))= (ΣCi1f(ei),ΣCi2f(ei),…,ΣCinf(ei))=(f(e1),f(e2),…,f(en))·C=(e1,e2,…,en)·AC=(e’1,e’2,…,e’n)·C^-1AC(2).(1),(2):В=С^-1АС.*

59.Собственные векторы и собств. значения лин. оператора.Характеристическое ур – ие.Способ отыскания собств векторов оператора f.

Опр:всякий вектор х,отл. от нулевого,для к – рого f(x)=λx,наз. собственным вектором оператора f с собственным значением λ.Если х – собств. вектор оператора f с собств. значением λ,то вектор ах,а≠0,будет собств. вектором оператора f с тем же самым собств. значением.Д – во:f(ax)=af(x)=aλx=λ(ax).

Примеры:1)Для единичного оператора ε любой вектор явл. собств.,с собств. значением =1.2)Для оператора подобия с коэфф. подобия λ любой вектор явл. собствю с собств. значением =λ.3)В пр – ве V2 рассм. оператор поворота на угол φ,0<φ<π.Не имеет собств. векторов.

Пусть V – лин. пр – во, и e1,e2,…,en – его базис,f – лин. оператор этого пр – ва и его собств. вектор х=ξ1е1+ξ2е2+…+ξnen.Тогда f(x)=λx, где λ – собств. значение.Пусть А – м. оператора f в базисе е и коорд. вектора f(x)=η1e1+η2e2+…+ηnen.

η1		ξ1		ξ1
η2		ξ2		ξ2
…	=A·	…	=λ·	…
ηn		ξn		ξn

Решив сист.,получим хар. ур – ие оператора f: |λE-A|=0,где |λE-A| - хар. многочлен оператора f.

Собств. значения должны быть корнями хар. ур – ия => способ их отыскания:Пусть λ0 – корень хар. ур – ия,подставим его вместо λ и найдём коорд. собств. вектора.

Хар. многочлен не изм. при переходе к новому базису(инвариантен)+д – во.