48.Матрица перехода от одного базиса к другому.Связь между коорд. Вектора в разных базисах лин. Пр – ва.

Пусть V – лин. пр – во;е₁,е₂,…,е_n и e₁’,e₂’,…e_n’ – 2 его базиса.Пусть[e₁’=a₁₁e₁+a₂₁e₁+…+a_n1e₁;e₂’=a₁₂e₁+a₂₂e₂+…a_n2e_n;…;e_n’=a_1ne_n+a_2ne_n+…+a_nne_n].

(e₁’e₂’…e_n’)=(e₁e₂…e_n)·С,где С=

а11	а12	…	а1n
a21	a22	…	a2n
…	...	...	...
an1	an2	…	ann

М.С наз. матрицей перехода от базиса е к базису e’=>м.С невырождена,.т.к. в противном случае ёе столбцы были бы лин. зав.,а значит и e₁’,e₂’,…e_n’ были бы лин. зав.Противоречие. Обратно,если м.С невырождена,то её столбцы лин. незав.=> вектора e₁’,e₂’,…e_n’, пол. из базиса е с пом. С будут лин. незав. =>любая невырожд. м. может служить м. перехода.

Пусть х – вектор пр – ва V и х=ξ1е1+ ξ2e2+…ξnen;x=ξ1’e1’+ξ2’e2’+…+ξn’en’.Тогда(без д – ва):

ξ1		ξ’1		ξ’1		ξ1
ξ2		ξ’2		ξ’2		ξ2
…	=C	…	или	…	=C-1	…
ξn		ξ’n		ξ’n		ξn

49.Опр. лин. подпространства.Н и Д усл. для того,чтобы нек – рое мн – во векторов лин. пр – ва явл. лин. подпр – вом.

Пусть V – произв. лин пр – во над полем Р.L – подмножество пр – ва V. а наз. лин. подпространством пр – ва V,если по отн. к операциям сложения векторов и умн. вектора на число, опр. в пр – ве V,мн – во L само явл. лин. пр – вом.Мн – во L≤V будет лин. подпр – вом пр – ва V ТиТТ,К 1)для любых х,уєL х+уєL;2)для любых хєL и aєP axєL.+примеры.

50.Д – ть, что мн – во всех лин. комб. данной сист. векторов лин. пр – ва явл. лин. подпр – вом этого пр – ва.

Пусть х1,х2,…,хn(*) – произв. вектора пр – ва V.Рассм. мн – во всех лин. комб. этой сист. векторов:х=а1х1+а2х2+…+аnxn;у=β1х1+β2х2+…+βnxn => x+y=(a1+β1)x1+…+(an+βn)xn. ax тоже явл. лин. комб. => усл. 1) и 2) вып.=>мн – во всех лин. комб. системы(*)обр. лин. подпр – во пр – ва V:L(х1,х2,…,xn) – лин. оболочка сист. векторов.Размерность этого подпр – ва равна числу лин. незав. векторов в сист.(*).

51. Опр. Евклидова пространства. Примеры.

Лин. пр – во V наз Евклидовым, если по нек – рому правилу каждой паре векторов х,у из V поставлено в соответствие число поля Р, обозн. символом (х,у) и наз. скалярным произв. векторов х и у; причем вып. следующие требования – аксиомы скалярного произв.:

1)(х,у)=(у,х)

2)(x+y,z)=(x,z)+(y,z)

3)(ax,y)=a(x,y)

4)(x,x)≥0, причем (х,х)=0 ТиТТ,К хєΘ.

Примеры:

1)Рассм. лин. пр – во V3. Скалярное произв. векторов из V3(вект. алгебра) удовл. аксиомам 1)-4).

2)В пр – ве Rn скалярное произв. опр. след. образом: х=(а1,а2,..,аn), у=(β1, β2,.., βn), (x,y)=a1β1+a2β2+…+anβn.

52.Длина вектора.Угол между векторами.Нер-во Коши-Буняковского.Т-ма Пифагора.

Длиной вектора х наз. число, обозн. символом |x|, и |х|=√(х,х).

Нер-во Коши-Буняковского(для любых х,уєV): (x,y)²≤|x|²·|y|² или |(x,y)| ≤|x|·|y|.

Д-во:Рассм. скалярное произв.(ах-у,ах-у)≥0, (ах-у,ах-у)=а²|х|²-2а(х,у)+|у|²≥0, относительно а это квадр. трёхчлен.4(х,у)-4|х²||у²|≤0,(х,у)²≤|х|²|у|², |(x,y)| ≤|x|·|y|.*

Если х≠0 и у≠0,то -1≤(x,y)/(|х||у|)≤1. Наим. положительное число а: cos(a)= (x,y)/(|х||у|) наз. углом вежду векторами х и у.Опр:2 вектора наз. ортогональными,если, если их скалярное произв.=0, т.е а=90^о. То же для Rⁿ.

Обобщенная т-ма Пифагора:если х и у ортогональны,то |x+y|²=|x|²+|y|².Д-но, |x+y|²=(x+y)(x+y)=|x|²+2(x,y)+|y|². То же для Rⁿ.

53.Нер-во треугольника.

Пусть х и у – произв. векторы Евклидова пространства. |x+y|²=(x+y)(x+y)=|x|²+2(x,y)+|y|²≤|x|²+2|(x,y)|+|y|²≤(по нер-ву Коши)|x|²+2|x||y|+|y|²=(|x|+|y|)².Отсюда |x+y|≤|x|+|y|. То же для Rⁿ.

54. Ортонормированный базис. Скалярное произв. векторов в ортонормированном базисе.

Базис е1,е2,..,еn n – мерного пространства наз. ортогональным, если его вектора попарно ортогональны. Если длина каждого вектора =1, то базис наз. ортонормированным.

Причем: а)Любая сист. попарно ортогональных векторов лин. независима.б)В лин. пр – ве сущ. ортонормированные базисы.в)Пусть х=а1,а2,..,аn;y=β1,β2,…,βn. Для того, чтобы x·y=a1β1+a2β2+…+anβn Н и Д, чтобы базис был ортонормированным.

55. Понятие линейного оператра, заданного в линейном пространстве.Примеры.

Опр: в лин. пр – ве V задан лин. оператор f, если каждому вектору хєV поставлен в соответствие.единственный вектор уєV. Обозн: f:V→V или y=f(x).

Вектор у наз. образом вектора х, а вектор х – прообразом вектора у. Оператор f, заданный в лин. пр – ве V наз. также оператором пр – ва V, или преобразованием пр – ва V.

Оператор f пр - ва V наз. линейным, если вып. условия:1)f(x+y)=f(x)+f(y).2)f(ax)=af(x), xєV и aєP.

Примеры:1)Оператор ε, ставящий в соответствие каждому вектору х сам вектор х, явл. лин. оператором и наз. единичным оператором.2)Оператор f, ставящий в соответствие каждому вектору х вектор ах (а=cоnst), явл. лин. оператором и наз оператором подобия с коэфф. подобия а.3)в пр – ве Rⁿ(x) оператор дифференцирования D (DQ_n(x)=Q’_n(x))явл. лин. оператором, т.к.(U+V)’=U’+V’ и (aU)’=aU’.