§11. Система линейных уравнений.

1О. Определения, обозначения.

Def 1. Системой линейных уравнений с неизвестными над полем называется система выражений вида

(1)

где . Элементы называются коэффициентами системы (1), – ее свободные члены. Если все , то система (1) называется однородной, иначе – неоднородной.

Def 2. Совокупность элементов поля : называется решением (1), если после подстановки их вместо соответственно во все уравнения (1) получаются тождества.

Def 3. Если система (1) имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной, если решений нет – несовместной.

Пример. – несовместная. – совместная.

Def 4. Два решения и являются различными, если нарушается одно из равенств , …, .

Def 5. Если система (1) имеет единственное решение, то она называется определенной, если у системы существует по крайней мере два различных решения, то система называется неопределенной.

Пример. – неопределенная система.

Решить систему линейных уравнений – это значит выяснить, совместна она или нет, и в случае совместности найти все ее решения.

Def 6. Две системы линейных уравнений (СЛУ) с одинаковым числом неизвестных и над одинаковым полем называются эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений.

СЛУ удобно записывать с помощью матрицы:

, .

Матрица называется основной матрицей системы (1) или матрицей системы (1).

Если ввести

, ,

то систему (1) можно переписать в матричном виде

(2)

Наряду с основной матрицей удобно рассматривать расширенную матрицу системы (1):

,

2О. Формулы Крамера. Рассмотрим частный случай, когда и , т.Е. – невырожденная матрица.

Теорема 1. (правило Крамера) Система уравнений с неизвестными в случае, когда , имеет решение, причем только одно. Это решение находится по формулам:

, , (3)

где , – определитель матрицы, получаемой из заменой -ого столбца на столбец свободных членов, т.е.

.

Формулы (3) называются формулами Крамера.

Доказательство. Запишем систему в матричном виде (2):

,

т.к. – квадратная матрица и определена обратная матрица

.

Тогда умножая (2) слева на , имеем:

, т.е.

.

Здесь определяется через алгебраические дополнения к элементам -ого столбца матрицы , умноженными на элементы столбца . Видно, что это можно переписать в виде формул (3).

Покажем, что это решение единственно. Пусть – решение (1), т.е.

Умножим первое уравнение на , второе – на , …, и сложим (здесь ,…, – алгебраические дополнения к элементам -ого столбца матрицы ). Имеем:

Здесь коэффициенты при есть сумма произведений элементов -ого столбца матрицы на алгебраические дополнения к элементам -ого столбца . По теоремам о разложении по «своему» и «чужому» столбцу имеем, что коэффициент при равен , а остальные – нули, т.е.

, т.е. те же формулы.

Т.о., (3) дают единственное решение.

Пример.

. , , , , , , .

Замечание. Если рассматривать однородную СЛУ с и , то формулы Крамера дают единственное нулевое решение.

Следствие. Если однородная система линейных уравнений с неизвестными имеет ненулевое решение, то .