- •§11. Система линейных уравнений.
- •1О. Определения, обозначения.
- •2О. Формулы Крамера. Рассмотрим частный случай, когда и , т.Е. – невырожденная матрица.
- •3О. Условие совместности слу.
- •4О. Построение решений слу.
- •5. Метод Гаусса решения слу.
- •7О. Однородные системы уравнений.
- •8О. Системы линейных неоднородных уравнений
3О. Условие совместности слу.
Теорема 2. (теорема Кронекерра-Капелли). Для того, чтобы система (1) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее расширенной матрицы был равен рангу основной матрицы, т.е.
.
Доказательство. Очевидно, что .
Для доказательства перепишем систему (1) в виде:
(4)
где выделены столбцы матрицы , являющиеся элементами .
Необходимость. Если существует решение , то запись (4) означает, что столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы . Значит, добавление этого столбца не изменяет числа линейно независимых столбцов .
Достаточность. Пусть . В этом случае базисный минор матрицы является базисным и для . Это и означает, что столбец свободных членов есть линейная комбинация тех столбцов матрицы , в которых расположен базисный минор, а значит, и всех столбцов матрицы (остальные можно взять с коэффициентом 0). Очевидно, что коэффициенты этой линейной комбинации и являются решениями системы (1), т.е. есть хотя бы одно решение.
4О. Построение решений слу.
Теорема Кронекера-Капелли устанавливает совместимость СЛУ, но не дает практического рецепта их нахождения. Ниже дается один из возможных способов.
Пусть рассматривается произвольная система уравнений с неизвестными и пусть .
Def 7. Число , равное рангу матриц и , называется рангом системы (1).
Не ограничивая общности, будем считать, что базисный минор матрицы расположен в левом верхнем углу (этого всегда можно добиться применением нумерации неизвестных и перестановкой уравнений). Обозначим этот минор :
.
Минор является базисным и для , поэтому строки матрицы с номерами , …, являются линейными комбинациями первых ее строк (теорема о базисном миноре). Это означает, что уравнения с номерами , …, представляют собой линейные комбинации первых уравнений, так что система (1) эквивалентна системе
(5)
(так как все решения (5) обращаются в тождество все последующие уравнения).
Если , то (5) система с определителем неравным нулю и она (и значит система (1)) имеет единственное решение, определяемое по правилу Крамера. Т.о., справедлива следующая теорема.
Теорема 3. Если , то система (1) имеет единственное решение.
Пусть далее . Оставим в левых частях лишь те слагаемые, коэффициенты которых образуют базисный минор , остальные перенесем вправо.
(6)
Def 8. Неизвестные называются базисными, а переменные – свободными.
Свободным переменным можно придать произвольные значения. Тогда базисные неизвестные определяются по формулам Крамера:
,
Здесь – определитель, получающийся из заменой -ого столбца на столбец свободных членов системы (6). Пользуясь свойствами определителя, последнюю формулу можно переписать в виде:
.
Введем обозначения: , .
Тогда имеем
.
Добавляя сюда очевидные равенства: , …, , имеем
(7)
Формулы (7) дают общее решение системы (1), т. к. выражают все неизвестные через свободные неизвестные .
Покажем, что формулы (7) содержат все варианты решения системы (1). В самом деле, если , – решение СЛУ (1), то имеют определенные числовые значения подставляя их в систему (1) и повторяя все предыдущие выкладки, получим (7).
Таким образом, доказано.
Теорема 4. Если (1) совместна и ее ранг меньше , то эта система имеет бесконечное множество решений.
Пример.
(I)(-4)+(II)+(III)=0 rang=2. Возьмем , – базисные из (I) и (II) имеем:
.