1.Понятие алгебраической операции и числового поля.
Говорят, что на множестве Х задана числовая операция, если любой паре элементов х,у из Х поставлен в соответствие опр. третий элемент Z из этого множества.
Мн-во чисел наз. замкнутым отн. нек-рой алгебраической операции, если рез. этой операции прин. этому мн-ву.
Мн-во чисел, замкнутое отн. 4х алг. операций(+,-,*,/) наз. числовым полем.
2. Д-ть, что любая транспозиция меняет хар-р четности перестановки. Опр. Определителя N-ого порядка.
Перестановкой порядка n наз. упоряд. набор чисел 1,2,…n. Если числа расп. по возрастанию, то такая перестановка наз. главной.
Перестановка порядка n - (С1,С2,С3…Сn).
всего разл. пер-к n будет n!
(C1,C2,…,Cn) Ci- компоненты
Если в перестановке большее число стоит впереди меньшего то эти числа обр. инверсию. Обозн.: S(К1,К2,..,кN)
Четная/нечетная перестановка
Перестановка наз. чётной, если число инверсий в этой перестановке чётно.
Операция, меняющая местами 2 числа в перестановке, наз. транспозицией. Обозн.: (K,L)
Перестановка меняет четность при транспозиции 2х соседних членов.
Т: любая транспозиция меняет хар-р четности перестановки.
Д-во: Пусть …,К, а1, а2,…,aR, L, … - перестановка чисел 1,2,..,N. Проведем (K,L): …L,a1,a2,..,aR,K…
(K,L)=(K,a1),(K,a2),…,(K,aR),(K,L),
(L,aR),(L,aR-1),…,(L,a2),(L,a1).
Кол-во транспозиций 2R+1 –нечетное число. *
Определителем кв. матр. А=(аij) порядка n наз. число (обозн.|A|) и равное алг. Сумме всех возможных произведений, в каждом из к-рых в качестве сомножителя берется 1 и только 1 элемент из каждой строки и столбца матрицы, перед каждым произв. Ставится + или – в зав. от того, четна или нечетна перестановка индексов столбцов, при условии,что сомножители в произведении вписаны в порядке следования строк. Произв этой суммы наз. членами определителя. Их число равно N!. Половина из них с берется с +, другая с -.
3.Т-ма о равноправности строк и столбцов матрицы определителя.
Определитель не изменится, если в его матрице поменять местами строки со столбцами.*
4.Т-ма о перестановке 2х строк матрицы оределителя. Определитель с 2мя одинаковыми строками.
Т: Если в матрице определителя поменять местами 2 строки, то определитель изменит знак на противоположный.
Д-во: D D1
|
А11 |
А12 |
… |
A1n |
|
А11 |
А12 |
… |
A1n |
|
… |
… |
… |
… |
|
… |
… |
… |
… |
|
Al1 |
Al2 |
… |
Aln |
|
Ak1 |
Ak2 |
… |
Akn |
|
… |
… |
… |
… |
= - |
… |
… |
… |
… |
|
Ak1 |
Ak2 |
… |
Akn |
|
Al1 |
Al2 |
… |
Aln |
|
… |
… |
… |
… |
|
… |
… |
… |
… |
|
An1 |
An2 |
… |
Ann |
|
An1 |
An2 |
… |
Ann |
Рассмотрим произв. член опр D: A1Y1A2Y2…AkYk…AlYl…AnYn, знак опр. хар – ром четности перестановки Y1,..,Yk,..,Yl,..,Yn.
Произведение явл. членом определителя D1, со знаком, опр хар – ром четности перестановки Y1,..,Yl,..,Yk,..,Yn. => D= -D1 *
Следствие: определитель с 2мя одинаковыми строками =0.
Д – во: Пусть D имеет 2 одинаковые строки. Поменяем их, т.е. D= - D1 и D = D1 => 2D=0 => D=0 *
5. Т – ма об умножении нек – рой строки матрицы определителя на одно и то же число. Определитель с 2мя пропорциональными строками.
Т: Общий множитель элементов строки матрицы определителя можно выносить за его знак.
|……………………| |……………………|
|CAk1 Cak2…Cakn | = C |Ak1 Ak2……..Akn |
|……………………| |……………………|
Д – во: Представим левый определитель в виде алгебр. суммы, каждый член этой суммы будет сод. число С в качестве сомножителя. Вынесем С за скобки, а в скобках останется алг. сумма, предст. собой определитель, стоящий справа. *
Следствие: определитель, порожденный матрицей с 2мя пропорциональными строками, =0. Д – во ...
6. Т – ма о разложении определителя на сумму определителей и следствия из нее.
|
А11 |
А12 |
… |
A1n |
|
А11 |
А12 |
… |
A1n |
|
А11 |
А12 |
… |
A1n |
|
… |
… |
… |
… |
|
… |
… |
… |
… |
|
… |
… |
… |
… |
|
A’k1+ A’’k1 |
A’k2+ A’’k2 |
… |
A’kn+ A’’kn |
= |
A’k1 |
A’k2 |
… |
A’kn |
+ |
A’’k1 |
A’’k2 |
… |
A’’kn |
|
… |
… |
… |
… |
|
… |
… |
… |
… |
|
… |
… |
… |
… |
|
An1 |
An2 |
… |
Ann |
|
An1 |
An2 |
… |
Ann |
|
An1 |
An2 |
… |
Ann |
Д – во: каждый член левого определителя сод. В качестве сомножителя 1 элеи\мент из к – ой строки: A1k1 A2k2 …(Akyk’+Akyk’’)…Anyn.Раскроем скобки,получим сумму 2х произведений,одно из к – рых – член 1го определителя(пч), другое – член 2го определителя(пч). *
Это св – во распр. не случай,когда каждый элемент нек – рой строки есть сумма S слагаемых.
Сл1: если к элементам нек – рой строки матрицы определителя прибавить соотв. элемент другой строки,умн. на одно и то же число,то порождённый ею опр. не изменится.+д-во.
Опр:одна из строк матрицы опр. явл. лин. комбинацией 2х других,если она получается путём почленного сложения оставшихся её строк,умн. на нек – рые числа.
Сл2:если у матрицы однп из строк явл. лин. комбинацией 2х других,то опр. этой матрицы =0.
7.Т – ма о разложении опр. на по элементам строки(столбца) и следствия из неё.
Опр:Минором Mi элемента аik опр. порядка n называется опр. n-1 порядка,порождённый матрицей,пол. из матрицы данного опр. вычёркиванием iй строки и kого столбца.
Опр:алгебраич. дополнением Aik элемента аik наз. минор этого элемента,умн. на (-1)i+k.
Т:опр. равен сумме произв. элементов нек – рой строки(столбца)его матрицы на их алг. дополнения. Без д – ва.
Сл1(о чужой строке):сумма произв. чисел b1,b2,…,bn на алг. дополнения Ai1,Ai2,…,Ain элементов iой строки опр. равна опр.,матрица к – рого получается из матрицы данного опр. заменой iой строки ai1,ai2,…,ain строкой b1,b2,…,bn.
Сл2(о чужих алг. дополнениях):сумма произв. элементов нек – рой строки матрицы опр. на соотв алг. дополнения другой строки =0.
9.Операция транспонирования матрицы и её св – ва.
М А’,пол. из кав. м.А заменой строк столбцами наз. транспонированой по отн. к А. Св – ва:
1)(аА+βВ)’=aA’+βB’.
2)(АВ)’=B’A’.+д – во
Опр:если A’=A,то м. А – симметрическая,если A’= - A,то м.А – кососимметрическая.
10-11.Определение обратной матрицы.Д – ть,что у каждой обратимой матрицы сущ. лишь одно обращение.Д – ть,что (ABC)-1=C-1B-1A-1.
Кв. матрица А наз. обратимой,если сущ. такая матрица Х,уто АХ=ХА=Е(1).Любая м.Х,удовл. равенству(1),наз. обратной для А и обозн. А-1.Т.о. А-1А=АА-1=Е.
Т:Всякая обратная матрица имеет единственное обращение.
Д – во:Пусть м.А – обратимая. Предп.,что она имеет 2 разл. обр. м.:Х и Y. ХАY=(ХА)Y=ЕY=Y и ХАY=Х(АY)=ХЕ=Х =>X=Y*
Т:Пусть м.А,В,С – обратимые,тогда м.АВС явл. обратимой и (АВС) -1=С-1В-1А-1.
Д – во:(АВС)(С-1В-1А-1)=(А(В(СС-1)В-1)А-1)=Е.*
12.Д – ть,что в рез. транспонирования обратной м. пол. обратная м. и (A’) -1=(A-1)’.
Т:В рез. транспонирования обратимой м.А пол. обратимая м. и справедливо (A’) -1=(A-1)’.
Д – во:AX=XA=E;(AX)’=(XA)’=E’;X’A’=A’X’=E; (A-1)’A’=A’(A-1)’=E =>(A’) -1=(A-1)’.*
20. Линейные операции над векторами и их св –ва. Д – ть одно из них.
Это сложение векторов и умножение векора на число.
Пусть даны a и b. Рассм. Произвольную т.О и отложим вектор ОА = а, а от точки А отложим вектор АВ=b, тогда ОВ=а+b.
Рассмотрим т.D такую, чтобы OABD был параллелограммом. Тогда OD = b, a DB = a. Т.е. b+a=a+b.(коммутативность)
Опр: произведением вектора а на число b наз. Вектор b такой, что |b|=|c|*|a|, b↑↑a при с>0 и b↑↓ a при с<0.
Св - ва линейных операций над векторами: коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность,..
21. Определение базиса, координаты вектора в базисе. Т – ма о разложении вектора по базису, единственность разложения.
Базисом в пространстве наз. Любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов. Базисом на плоскости наз. Любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов. Базисом на прямой наз. Любой ненулевой вектор на этой прямой.
Если вектор а представлен в виде а = с1а1+с2а2+…+сkаk (с = const), то говорят, что он разложен по векторам а1, а2,…,аk.
Если е1, е2, е3 – базисы в пространстве и а=с1е1+с2е2+с3е3, то с1,с2,с3 – координаты вектора а в базисе е1 ,е2 ,е3. Обозн.: а(с1,с2,с3)
Т: 1.Любой вектор || прямой может быть разложен по базису этой прямой.
2.Любой вектор || плоскости может быть разложен по базису этой плоскости.
3.Любой вектор может быть разложен по базису в пространстве.
4.Каждое из этих разложений единственно.
Д – во: 1) Пусть е – базис на прямой, а || этой прямой. Рассм вектор b= ±|а|/|е|*е (“+” – если а↑↑е,“-” если а↑↓е). |b|=|а|/|е|*|е|=|а|.
Покажем, что b↑↑а(b↑↑e↑↑a) => b=a => a= c*e, где с=±|a|/|e|.*
2) Пусть е1, е2 – базисы плоскости, а || етой плоскости. Отложим е1, е2 и а от одной точки. Через конец а проведем прямую || е2.
Т
огда
а = ОЕ+ЕА = се1+de2.(c
– alpha,
d - beta) *
А
Е1
Е
О
3) Пусть е1, е2, е3 – базисы пространства, а – вектор. Отложим все эти вектора из одной точки. Проведем прямую через конец а||е3.
Тогда а = ОЕ + ЕА = ( 1), 2) ) = с1е1+с2е2+с3е3. *
4) Предположим, что сущ. 2 разл. Разложения: а = с1е1+с2е2+с3е3 и а=d1e1+d2e2+d3e3 => 0 = (c1-d1)e1+(c2-d2)a2+(c3-d3)a3.
Одна из скобок отлична от 0 (напр., вторая) => e1=k1e2+k2e3 => e1, e2, e3 коллинеарны. Противоречие. *
22. Линейная зав. Векторов, ее св – ва, д –ть одно из них.
Вектора а1, а2,…, аn (1) наз. Линейно зависимыми, если сущ. числа с1, с2, …, сn, не все равные 0 и такие, что c1a1c2a2+…+cnan=0.(*)
Если (*) выполняется только тогда, когда с1=с2=…=сn, то сист. Векторов (1) наз. Линейно независимой.
Св –ва: 1) Если среди векторов систамы (1) есть нулевой вектор, то это система линейно зависима.
2)Если к линейно зав системе векторов (1) прибавить 1 или несклько векторов b1,b2,…bj, то полученная сист. векторов будет линейно зависимой.
3)Система векторов (1) линейно зав. Тогда и только тогда, когда 1 из векторов этой системы можно представить в виде лин. Комб. Остальных.
Д – во: а) Пусть система (1) линейно зависима => справедливо (*), где, напр. С1≠0, тогда а1= -с2/с1*а2 - … - сn/с1*аn. *
б)Пусть один из векторов явл. Лин. Комб. Остальных: а1=с2а2+…+сnan => 1*а1-с2а2-…-cnan=0 => сист. векторов линейно зав. *
4) Любые 2 коллинеарных вектора линейно зависимы. Любые 2 лин. Зав. Вектора коллинеарны.
5) Любые 3 компланарных вектора линейно зависимы. Любые 3 лин. Зав. Вектора компланарны.
6) Любые 4 вектора линейно зависимы.
23. Осн. Теорема о величинах векторов на оси.
Опр: координатной осью наз прямая, на к – ройс пом. Задания единичного вектора опр. Направление и масштабная единица(ед. длины).
Углом между вектором а и осью L наз угол между вектором а и вектором, задающим напр. L.
Пусть вектор а лежит на оси L. Величиной вектора а но оси L наз. Число велLа=|а|, если а↑↑L и -|а|, если а↑↓L.
Осн. Т – ма о величинах векторов на оси: Для любых 3х точек A, B ,C, лежащих на оси L имеет место равенство:
велLAB+велLBC=велLAC, или велL(AB+BC)=велLAB+велLBC.
Д – во: Пусть A,B и С – различные точки. Варианты расп точек на оси:
A B C
A C B
B A C
B C A
C A B
C B
A
1) |AB|+|BC|=|AC|, |AB|=велLAB;|BC|=велLBC;|AC|=велLAC => *
2) |AC|+|BC|=|AB|, |AC|=велLAC;|BC|= - велLBC;|AB|=велLAB => * …
27.Вывод формул,выр. коорд. точки в одной декартовой сист. коорд. через коорд. этой точки в другой сист. коорд.
Рассмотрим 2 декартовы сист. коорд.:
е2’(новая
сист. коорд)
M(x,y;x’,y’)
O
’(a1,a2)
e1’
е2
О е1
(старая сист. коорд)
e1’(а11,а21); e2’(а12,а22)
OM=OO’+O’M;xe1+ye2=a1e1+a2e2+x’e1’+y’e2’=a1e1+a2e2+x’(a11e1+a21e2)+y’(a12e1+a22e2)=(a11x’+a12y’+a1)e1+(a21x’+a22y’+a2)e2,т.е
x=a11x’+a12y’+a1 и y=a21x’+a22y’+a2. То же для случая в пространстве и прямоуг. СК на плоскости.
28.Скалярное произв. векторов.
a·b=(a,b)=|a|·|b|·cosy, где y – угол между a и b.
|b|cosy=npab;|a|cosy=npba.
Св – ва:1)a·b=b·a.2)(βa,b)=β(a,b)+д - во.3)(a+b)·c=a·c+b*с. +д – во.4)a·b=0 =>a┴b или a=0 или b=0.5)a·a=a2=|a|2.6)Выр. скалярного произв. через коорд(+д - во).:a·b=xx’+yy’+zz’. 7)|a|=√x2+y2+z2(из (5) и (6)).8)Напр. косинусы + косинус угла между векторами.
32.Т – мы об инвариантности порядка алг. линии(пов.)
Опр:алг. пов. наз.мн – во точек,к – рое в к.-н. ДСК может быть задано ур – ием вида A1Xk1YL1Zm1+…+AsXksYLsZms=0(1),где все показатели степени – целые неотр. числа.
Наибольшая из сумм k1+L1+M1,…,kn,Ln,Mn наз. степенью ур – ия, а также порядком алг. пов.
Опр:алг. линией наз.мн – во точек,к – рое в к.-н. ДСК на плоскости может быть задано ур – ием вида A1Xk1YL1+…+AsXksYLs=0(2),где все показатели степени – целые неотр. числа.
Наибольшая из сумм k1+L1,…,kn+Ln наз. степенью ур – ия, а также порядком линии
Т:если пов. в нек – рой ДСК может быть задана ур – ием вида(1),то в любой другой ДСК она может быть задана ур – ием того же вида и степени.
Т:если линия на плоскости в нек – рой ДСК может быть задана ур – ием вида(2),то в любой другой ДСК она может быть задана ур – ием того же вида и степени.
Д – во:перейдём от исходной к новой ДСК: x=a11x’+a12y’+a1 и y=a21x’+a22y’+a2.Чтобы пол. ур – ие линии в новой СК,подставим в её ур – ие выр. х и у через x’ и y’.При возв. трёхчлена a11x’+a12y’+a1 в степень k получим многочлен степени k относительно x’ и y’. При возв. трёхчлена a21x’+a22y’+a2 в степень L получим многочлен степени L относительно x’ и y’.При перемножении этих многочленов каждый член вида AXkYL в левой части ур – ия(2)перейдёт многочлен степени k+L относительно x’ и y’.Сумма многочленов – это многочлен,степень к – рого не выше степени слагаемых.Пусть при перходе из старой в новую СК степень многочлена понизилась,тогда при обратном переходе она должна повыситься,что невозможно =>*.
33.Д – ть,что в ОДСК в пространстве(на плоскости) каждая плоскость(прямая) можнт быть задана лин. ур – ием,и обратно.
Ур – ие 1й степени, или линейное ур – ие,связывающее коорд. точек в пространстве,имеет вид: Ax+By+Cz+D=0(1),A2+B2+C2≠0,и на плоскости: Ax+By+C=0,A2+B2≠0
Д – во(для плоскости):Пусть дана нек – рая плоскость.Возьмём СК так – начало СК и первые 2 базиса поместим в плоскость,а вектор е3 выберем произв.В такой СК плоскость будет иметь ур – ие z=0. Это - линейоне ур – ие.В силу инвариантности порядка ур – ий она им линейное ур – ие и в любой другой СК.Обратно,пусть даны ОДСК и ур – ие(1).Найдём мн – во точек,коорд. к – рых удовл. этому ур – ию. Предп.,что в этом ур – ии С≠0 и произв. замену СК,положив [x’=x,y’=y и z’=Ax+By+Cz+D](3).Мн – во,опр. в старой СК ур – ием(1),в новой СК будет им. ур – ие z’=0,и,следовательно,явл. плоскостью.Докажем,что (3) – действительно переход к новой СК.Из(3):[x=x’,y=y’,z=-A/C·x’-B/C·y’+z’/C-D/C].Эти ф – лы задают переход от исх. СК к системе{O’,(e1’,e2’,e3’)},где O’(0;0;-D/C),e1’(-1;0;-A/C),e2’(0,1,-B/C),e3’(0,0,1/C).Очевидно, e1’,e2’ и e3’неколлинеарны.*