Двойное векторное произведение

Def 1. Двойное векторное произведение векторов , , это произведение вида .

Выразим двойное векторное произведение через скалярное.

Пусть   и . Тогда, в силу   лежит в плоскости векторов и  . Умножим это равенство скалярно на . Имеем .

Пусть вектор не перпендикулярен одновременно векторам и (в противном случае в обоих случаях). Тогда  , такое что , .

Тогда

.

Для того, чтобы найти , вычислим левую и правую части в некотором базисе. Пусть вектор направлен вдоль вектора , лежит в плоскости векторов и , определяется из условия, что , , образуют правую тройку. Тогда , , .

Имеем

, .

.

.

Отсюда видно, что . Итак, справедлива формула:

.

Пример 1. Доказать тождество Якоби:

.

Имеем

,

,

.

Суммируя эти равенства, получим тождество Якоби.

Пример 2. Вычислить .

Имеем: ()

.