§12. Пространство геометрических векторов как пример линейного пространства

1О. Направленные отрезки.

Рассмотрим в пространстве две точки А и В. Они определяют отрезок АВ.

Def 1. Отрезок АВ называется направленным, если его концы А и В упорядочены; если при этом первой является точка А, а второй – точка В, то А – начало отрезка, а В – его конец.

Направленный отрезок обозначается или .

Def 2. Длиной направленного отрезка называется длина отрезка АВ.

Н а чертеже направленный отрезок снабжен стрелкой на конце.

Def 3. Направленные отрезки и называются сонаправленными, (обозначается ), если они лежат на параллельных прямых и направлены в одну сторону.

Направленные отрезки и называют противоположно направленными (пишут ), если они лежат на параллельных прямых и направлены в разные стороны.

Направленные отрезки и называются противоположными.

Каждую точку А пространства можно рассматривать как направленный отрезок с совпадающим началом и концом. Этот отрезок обозначается и называется нулевым направленным отрезком. Его длина считается равной нулю, а направление не определено.

Def 4. Два направленных отрезка и считаются эквивалентными, если они сонаправлены и имеют равные длины. (Обозначают ).

Эквивалентность является отношением эквивалентности в множестве всех направленных отрезков, т.к. из определения эквивалентности следует:

1^о) отрезок эквивалентен сам себе;

2^о) если эквивалентен , то эквивалентен ;

3^о) если эквивалентен и – эквивалентен , то эквивалентен .

Так как эквивалентность направленных отрезков является отношением эквивалентности, то множество всех направленных отрезков пространства разбивается на непересекающиеся классы – классы эквивалентности. Классы эквивалентности образуют фактор-множество множества всех направленных отрезков пространства.

Def 5. Множество всех эквивалентных направленных отрезков называется вектором (или свободным вектором).

В школе вектор – это параллельный перенос.

Направление эквивалентных направленных отрезков называется направлением вектора, а их длина – длиной вектора.

Таким образом, любой направленный отрезок однозначно определяет вектор, а вектор – это класс эквивалентных направленных отрезков.

Поэтому часто будем писать: «вектор ».

Длина .

Def 6 Вектор a такой, что называется единичным вектором или ортом. Множество нулевых отрезков называется нулевым вектором . Его длина равна нулю, а направление не определено.

Def 7. Два ненулевых вектора, направления которых совпадают или противоположны, называются коллинеарными. Обозначают . Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Очевидно, что прямые, на которых лежат представители классов коллинеарных векторов, параллельны.

Def 8. Три и более векторов называются комплонарными, если они параллельны некоторой плоскости.

Для определенности любую тройку векторов, содержащую нулевой вектор, считают комплонарной.

Пусть даны два вектора a и b. Из произвольной точки O пространства отложим и . Тогда есть направленный отрезок и значит, определяет вектор.

Покажем, что вектор не зависит от выбора точки O. Для этого выберем другую точку . Пусть , . Тогда – параллелограмм; аналогично, – параллелограмм – параллелограмм , т.е. они определяют один и тот же вектор.

Def 9. Вектор называется суммой векторов и . Пишут: .

Способ сложения векторов, изложенный выше, называется правилом треугольника. Можно также использовать правило параллелограмма.

Свойства сложения векторов.

1 ^о. .

2 ^о. .

3^о. , т.к. .

4^о. Для каждого вектора вектор, называемый вектором, противоположным , такой, что .

Если , то через обозначим . Тогда .

Def 10. Произведением вектора на число называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1. векторы и сонаправлены, если и противоположно направлены, если ;

2. .

Произведение вектора на число 0 есть нулевой вектор.

Пишут: .

Свойства умножения вектора на число.

1. и .

2. и вектора .

3. и вектора .

4. вектора .

Доказательство. 1) Пусть для простоты и будем использовать правило параллелограмма для сложения векторов. Если вместо и взять и , то получим подобный параллелограмм и его диагональ соответственно равна .

Доказательство 2) – 4) очевидно, такое, что получаются коллинеарные вектора.

Теорема 1. Множество векторов пространства образует линейное пространство.

Доказательство. Следует из свойств сложения векторов и умножения на число.

Замечание 1. Вычитание векторов. , т.е.

Т еорема 2. a) Множество коллинеарных векторов образует линейное пространство. б) Множество компланарных векторов образует линейное пространство.

Далее выясним размерности и базисы перечисленных пространств.