§ 3. Многочлены
1о. Эвристические соображения.
Пусть – поле. Тогда многочленом (полиномом) от одной переменной с коэффициентами из называется выражение вида
Здесь под понимается некоторый символ, который может принимать любые значения из .
Многочлен можно понимать как:
-
формальное выражение;
-
как функцию , если .
Ключевой вопрос: что значит, что два многочлена равны?
Если следовать первому пункту, то
равносильно выполнению равенств Если второму, то должно выполняться равенство .
Легко видеть, что если многочлены равны как формальные выражения, то они равны как функции. Обратно неверно.
Пример. Если с операциями, введенными в примере 5 из примеров колец (см. п. 3° из § 2), то многочлены и совпадают как функции, но различны как формальные выражения. Тоже самое и .
В
дальнейшем будем рассматривать многочлены как формальные выражения. Более того, для удобства формальной записи алгебраических операций многочлены желательно рассматривать как сумму бесконечного числа слагаемых вида с конечным числом отличных от нуля слагаемых: Тогда формулы для суммы и произведения многочленов примут вид:
;
,
где .
2O. Точные определения.
Пусть – поле.
Определение 1. Многочленом одной переменной с коэффициентами из называется бесконечная последовательность , в которой все элементы, кроме конечного числа, равны нулю.
Множество многочленов с коэффициентами из поля обознается .
Введем операции сложения и умножения многочленов.
Пусть . Тогда
,
, где .
Очевидно, что и имеют лишь конечное число ненулевых членов, т.е. являются многочленами. При этом, если имеет членов, а ненулевых членов, то – не более чем , а – не более чем ненулевых членов.
Теорема 1. – коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля.
Доказательство. – абелева группа – очевидно. При этом нулевой элемент.
Проверим ассоциативность умножения. Пусть
.
Необходимо доказать, что . Имеем:
, где . Тогда
, где ,
и
, где ,
т.е. ассоциативность умножения выполняется.
Проверим дистрибутивность, т.е. выполнение равенств
.
Имеемгде ;
где .
Аналогично доказывается второе равенство.
Проверим коммутативность умножения. Имеем
, где и
, где
силу коммутативности умножения в .
Легко проверить, что – единица в , так как
.
Покажем, что в нет делителей нуля. Пусть
, , , , , , , . Тогда
, где
, т.к. не имеет делителей нуля. Следовательно, – кольцо без делителей нуля. ■
Рассмотрим .
Очевидно, что
.
Следовательно, множество можно отождествить с (т.е. построить изоморфизм между этими кольца, причем ставится в соответствие .)
Обозначим (т.к. ).
Лемма 1. Пусть . Тогда
.
Доказательство. Так как , то легко видеть, что . Тогда
, и, значит
Терминология. Пусть
. Тогда – свободный член. Если , то – степень многочлена. Пишут (degree), – старший коэффициент , , – переменная.
Следствие. . Выполняется .
При этом , .
Доказательство. Пусть и . Тогда и .
Если или .■
Замечание. определено только для многочленов нулевой степени близко по свойствам к кольцу алгоритм деления с остатком.
3
o. Деление многочленов.
Теорема 2. Пусть . Тогда
и . |
(1) |
Доказательство. Пусть . Если , то можно положить . Если , то будем использовать тот же метод деления, что и для чисел.
Пусть
и .
Положим . Тогда . Пусть и
. Если , то остановим процесс вычисления; если , то положим .
Пусть , – старший коэффициент , и т.д. … Так как степени многочленов убывают, то получим :
и . Процесс останавливается. Суммируя полученные ранее выражения, получаем:
.
Тогда ,
, т.е. получено требуемое представление (1).
Докажем единственность. Пусть и . Тогда . Если
, то (по лемме 1) , a противоречие .■
Определение 2. Если и , то называется остатком при делении на .
Пример. .
Замечание. Из указанного в теореме 2 алгоритма деления с остатком следует, что если и – многочлены с действительными коэффициентами, то коэффициенты всех многочленов а значит и коэффициенты и – действительные. Для целых коэффициентов это утверждение, очевидно, неверно.
4o. Делители многочленов. Наибольший общий делитель.
Определение 3. Пусть . Если , то говорят, что делится на или делит , и пишут . Если , то означает, что остаток от деления равен . В этом случае многочлен называется делителем многочлена .
Свойства (делимости многочленов). Пусть , , , , , . Тогда справедливы свойства:
1) Если , .
Доказательство следует из равенства .
2) , .
Доказательство. Так как
; так как
. Тогда имеем
.
3) , .
4) .
Доказательство.
. Тогда
; следовательно, .
5) Если , , то справедливо
.
6) .
Доказательство следует из равенства .
7) имеем .
8) .
Действительно, .
9) .
Доказательство.
и . Ho .
и .
10) .
Доказательство.
Если имеем .
Если и по свойству 1) имеем (в силу свойства 9) .
Следует из свойства 9.
11) Если , то имеем .
Определение 4. Многочлен называется общим делителем и , если и . Наибольшим общим делителем (НОД) двух многочленов и называется их делитель , который делится на любой другой их общий делитель.
Замечание. Ненулевая постоянная является общим делителем любых двух многочленов.
Лемма 2. Если НОД двух многочленов и существует, то он определен с точностью до множителя .
Доказательство. Пусть и – два НОД для и и (по свойству 10) , для и .
Пусть . Если – общий делитель для и , то – тоже общий делитель. Если – НОД, т.е. любой другой делитель делит , то − тоже НОД.■
Лемма 3. Если , , то пары многочленов и имеют одинаковые общие делители.
Доказательство. Пусть – общий делитель и (из ) (по свойству 5) . Аналогично, из делимости и на и делятся на .■
Лемма 4. Если , то – НОД для и , т.е. .
Доказательство следует из того, что – делитель и и любой делитель и делит .
Теорема 3. Для , НОД().
Доказательство. Рассмотрим . Если , то в силу леммы 4 и условия имеем – НОД().
Если, то поделим на с остатком . Если, то теорема доказана в силу леммы 4.
Пусть . Тогда делим на . Если остаток , то доказательство завершаем, если , то делим на и т.д. Так как степени остатков все время уменьшаются, то процесс конечен. Таким образом, имеем следующую последовательность равенств:
|
|
|
|
|
|
(E) |
|
|
|
|
|
|
Здесь .
Из равенств () и леммы 2 что пары многочленов имеют общие делители делители и совпадают с делителями многочлена (по лемме 4) – делитель и .
Если – любой другой делитель и он делитель и – НОД.■
Замечание 1. Алгоритм построения НОД, использованный в теореме 3, называется алгоритмом Евклида или алгоритмом последовательного деления.
Замечание 2. Если .
Замечание 3. Так как НОД определен с точностью до множителя, то будем считать, что коэффициенты при старшей степени равен 1.
Пример. Если , то .
Замечание 4. При вычислении НОД результаты вычисления можно умножать и делить на элементы из , что влияет лишь на множители.
Теорема 4 (теорема о разложении НОД). Пусть и , . Тогда
(2) |
При этом, если , то и можно подобрать так, что и .
Доказательство. Если , то .
Аналогично, если .
Пусть теперь и не является делителем . Тогда можно считать, что . Из последнего равенства из (Е) следует, что
.
Положим .
Из равенства
где .
Поднимаясь дальше вверх, приходим к (2).
Докажем второе утверждение теоремы. Пусть (2) получено, но Покажем, что (1) можно привести к виду
где
Делим u на g с остатком: где
Подставим u в (1), имеем:
(2)
Положим, . Тогда Покажем, что От противного: пусть . Имеем Так как , что противоречит определению НОД.
Пример.
НОД
Замечание. Аналогично для случая многих многочленов вводится НОД.
5˚. Взаимно простые многочлены.
Определение 5. Многочлены называют взаимно простыми, если их общие делители только многочлены нулевой степени.
Лемма 5. – взаимно просты НОД
Теорема 5 (критерий взаимной простоты многочленов)
− взаимно просты
Док-во:
следует из теоремы 4.
Из (3) общий делитель идолжен делить 1 он постоянен - взаимно просты. ■
Св-во (взаимно-простых многочленов)
1º. - взаимно прост c и - взаимно прост с .
Док-во:
НОД НОД
|умножая на |
Если и - не взаимно просты делитель, который является делителем для - не взаимно просты . ■
2º. НОД
Док-во:
НОД |умножим на |
. Т.к. и ■
3º. НОД
Док-во:
■
6º. Корни многочленов.
Определение 6. Число называется корнем , если
Теорема 6 (теорема Безу).
, тогда
Док-во:
Разделим ,
■
Замечание. Остаток от деления по равен .
Следствие. Число корней нулевого многочлена не превосходит его степени.
Док-во:
По индукции. Если , то корней нет доказано.
Пусть для доказано и
Если нет корней все!
Если - корень и
Корни - это корни и наоборот (корни)=(корни)+1.■
Замечание. Т.о., задача нахождения корней многочлена равносильна нахождению его нормальных делителей.
Многочлен можно разделить на с остатком используя так называемую схему Горнера. Пустьимеет вид:
и пусть где .
Приравнивая левую и правую часть, получаем:
, , …, , .
Откуда
Для практического использования схему Горнера строят следующим образом:
|
|
|
… |
|
… |
|
|
|
|
|
… |
|
… |
|
|
Отметим, что
Пример. Найти
|
1 |
0 |
-4 |
6 |
-8 |
10 |
2 |
1 |
|
-4+4=0 |
|
-8+12=4 |
|
Пусть с – корень многочлена т.е. и значит, по теореме Безу, Может оказаться, что , то
Определение 7. Наибольшее называется кратностью корня многочлена корень называется k-кратным корнем Если k=1, то корень называется простым.
Замечание1. Если с – корень кратности k для , то и
т.е. . Наоборот, если и то с –корень кратности k многочлена
Предположим, что
| т.к. в кольце нет делителей нуля | противоречие.
Замечание2. является корнем нулевого многочлена.
Пусть