2О. Размерность линейных пространств геометрических векторов.

Теорема 3. Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда они линейно зависимы.

Доказательство. Если один из векторов нулевой, то очевидно. Поэтому далее предполагаем, что оба вектора ненулевые.

Пусть и – коллинеарны. Отложим их от одной точки. Пусть . Тогда если , то , если , то . В обоих случаях и – линейно зависимы.

Пусть и – линейно зависимы, т.е. и . Тогда по Def 10 и – коллинеарны.

Следствие 1. Линейное пространство коллинеарных векторов одномерно и его базисом может служить любой ненулевой вектор.

Следствие 2. Если и – коллинеарны и , то .

Доказательство. . Если . Т.о. и .

Теорема 4. Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда они линейно зависимы.

Доказательство. Будем предполагать, что никакие два из них не коллинеарны, т.к. иначе доказательство очевидно из §11 (свойство линейно зависимых векторов).

Пусть компланарны. Перенесем их в общую точку O. Проведем через концы вектора c прямые, параллельные векторам и и рассмотрим параллелограмм . Векторы и , и – коллинеарны , . Но , , – линейно зависимы.

Пусть , , – линейно зависимы. Тогда , одновременно не равные нулю: . Если, например, , то – диагональ параллелограмма со сторонами, параллельными и , , лежат в одной плоскости, т.е они компланарны.

Следствие. Линейное пространство компланарных векторов двумерно и его базисом может служить любая пара неколлинеарных.

Теорема 5. Любые четыре вектора линейно зависимы.

Доказательство. Предположим, что никакие три не компланарны, иначе очевидно. Остальное следует из чертежа по аналогии с доказательством теоремы 4. Через точку D проведем 3 плоскости, параллельные парам векторов , ; , ; , .

, . , , , – линейно зависимы.

Следствие. Линейное пространство всех геометрических векторов трехмерное. Его базисом могут служить любые три некомпланарных вектора.

3О.. Проекции вектора на ось

Пусть в пространстве задана некоторая прямая и единичный вектор .

Def 1. Осью будем называть прямую, по которой задано направление. Направление оси задается вектором (направляющий вектор оси).

Пусть – точка непринадлежащая . Проведем через точку плоскость . Получим точку , которая называется проекцией (ортогональной проекцией) точки на ось . Обозначение: .

Если наряду с точкой взять точку , то можно построить .

Def 2. Так построенный вектор называется векторной проекцией вектора на ось . Обозначают: .

Иногда говорят, что есть компонента вектора на оси .

Вектора и – коллинеарны  .

Def 3. Такое число называется скалярной проекцией (проекцией) вектора на ось . Пишут: .

Таким образом .

Легко видеть, что , если .

Свойства проекции:

1. Проекция вектора на ось равна произведению длины вектора на косинус угла между вектором и осью:

.

Действительно, пусть .

Если (см. рис. 1), то , поэтому

.

Если (см. рис. 2), то , и

.

2. При умножении вектора на число его проекция на ось также умножается на это число:

.

Действительно, если , то  и .

Если , то

3. Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций слагаемых:

.

Действительно, это очевидно из следующих чертежей:

Следствие. Свойство (3) справедливо для  количества векторов.

4^о. Скалярное произведение векторов.

Def 1. Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Т.о., если , – вектора, то скалярное произведение обозначается, и .

Свойства скалярного произведения

1) Коммутативность: .

Действительно, (т.к. , т.е. четная функция, то ) .

2) Скалярное произведение двух векторов равно длине одного вектора умноженной на проекцию другого на направление первого.

Действительно, .

Отсюда видно, что если , то .

Следовательно, проекция вектора на ось равна скалярному произведению этого вектора на направляющий вектор оси.

3) .

Действительно,

.

4) .

Действительно, .

5) Для того, что бы два ненулевых вектора были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.

Пусть     .

Пусть  , т.к. ,    .

6) Пусть  , т.е.  скалярный квадрат вектора равен квадрату длины вектора  .

Тогда

Вычисление скалярного произведения в прямоугольных координатах.

Пусть , .

(, ).

В прямоугольной декартовой системе координат скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат.

Некоторые метрические формулы.

1)  

2) ,   .

3. Если , то , , .

Т.о., прямоугольные координаты вектора есть его ортогональные проекции на оси прямоугольной системы координат.

4) Пусть ,  .

Таким образом,   .

Из формулы косинуса угла между векторами легко найти углы , , , которые вектор образует с осями координат. Эти углы называются направляющими углами.

Имеем:

, , .

, , называются направляющими косинусами вектора . Они связаны соотношением

.

Следовательно, вектор есть координаты вектора , т.е. вектора и .

.

5^о. Векторное произведение векторов

Пусть даны два неколлинеарных и не нулевых вектора и .

Def 1. Векторным произведением векторов и называется вектор , удовлетворяющий свойствам:

1. .

2.  и .

3. тройка векторов , , – правая.

Если один из векторов нулевой, или вектора коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю.

Построение вектора векторного произведения.

Пусть необходимо построить вектор . Для этого выберем в пространстве точку и отложим из нее вектора и .

1. Через точку проведем плоскость .

2. Спроецируем на П точку . Получим вектор .

3. Далее повернем вектор по часовой стрелке на угол /2 (если смотреть из конца вектора ) и получим вектор .

4. Умножив его на длину, получим , который равен .

Докажем это:

1. .

2. Очевидно, что и .

3. Легко видеть, что тройка , , – правая.

Свойства векторного произведения.

1. Векторное произведение двух не нулевых векторов равно нулю  вектора-сомножители коллинеарны.

Доказательство:

Пусть и   т.к. ,   , т.е. ||.

Пусть ||, тогда   .

2. Длина векторного произведения численно равна площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах.

Доказательство: Пусть и . На отрезках [OA] и [OB] построим параллелограмм.

.

3. Векторное произведение антикоммутативно, т.е. .

Доказательство: Легко видеть, что , т.к. вектора , , образуют правую тройку, то тройка , , – левая  т.е. вектора и – противоположно направлены. Следовательно, .

4. .

Докажем первое равенство.

1. В начале покажем равенство модулей.

т.к. , то .

.

2. Так как ||, то .

3. Покажем, что . Рассмотрим случай и .

Отсюда вытекает доказываемое свойство.

5. – дистрибутивность.

Если один из векторов нулевой – очевидно. Пусть , , – не нулевые. Для доказательства воспользуемся описанным ранее методом построения векторного произведения.

Выберем произвольную точку и отложим из нее вектора и . Из конца вектора построим вектор . Т.о., , , , .

1. Построим плоскость П.

2. Спроецируем на плоскость П: получим .

3. Повернем по часовой стрелке на угол .

4. Умножим отрезки сторон на , получим треугольник подобный .

По построению, , ,  т.к. ), то .

Вычисление векторного произведения в прямоугольных координатах

Пусть задана прямоугольная декартова система координат. Легко видеть, что для базисных векторов , , справедливо:

 очевидно, из коллинеарности.

. Из этого следует, что .

(см. рисунок).

Тогда для двух векторов

и .

Имеем:

Это равенство формально можно переписать в виде

.

Пример. Вычислить синус угла между векторами , .

Имеем: . . .

Так как модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах, то если , .

Имеем .

Если параллелограмм расположен в плоскости, то и .

Пример. Даны три точки , и .

Найти .

Решение. , где – площадь параллелограмма, построенного на векторах и . Имеем: , .

.

6^о. Смешанное произведение векторов

Пусть даны три вектора , , .

Def 1. Смешанным произведением векторов называется произведение следующего вида: , т.е. вначале вектора и перемножаются векторно, а затем результат умножается скалярно на вектор .

В результате получается скалярная величина.

Свойства смешанного произведения.

1. Модуль смешанного произведения трех векторов равен объему параллелепипеда, построенного на трех исходящих из одной точки векторах. Смешанное произведение больше нуля, если тройка правая, и отрицательная, если она левая.

Доказательство: Отложим вектора , , из одной точки. Возможны две ситуации:

a) Тройка , , – правая; б) Тройка , , – левая.

Пусть .

Тогда

2. Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

Доказательство. Если один из векторов нулевой, то свойство очевидно.

Пусть , ,  0.

Пусть , , – компланарны. Тогда  .

Пусть  либо , либо .

В первом случае это означает, что вектор  векторам , ,  , , – компланарны. Во втором случае – ||  и – линейно зависимы  , , – компланарны.

3. Смешанное произведение не зависит от группировки сомножителей, т.е. .

Доказательство. Тройки , , и , , ориентированы одинаково, значит знак смешанного произведения одинаковый. Модуль так же одинаковый в силу свойства 1.

Обозначение. Смешанное произведение векторов , , обозначается .

4. .

Следует из свойства циклической перестановки ориентированных векторов.

5. , .

Следует из свойств скалярного произведения.

Вычисление смешанного произведения в прямоугольных координатах.

Пусть даны три вектора: , , .

Тогда

.

,

т.е. смешанное произведение трех векторов равно определителю, строками которого являются координаты перемножаемых векторов.

Следствие. – необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов.

Def 2. Четыре точки называются коллинеарными, если вектора лежат в одной плоскости.

Видно, что , , , – компланарны если вектора , , лежат в одной плоскости. Если

, , , , то условие компланарности векторов , , имеет вид:

.

Задача. Вычислить высоту тетраэдра, вершины которого расположены в точках , , , .

Решение.

. Но

.