2 Задача максимизации прибыли

Равновесие производителя вычисляется в рамках задачи максимизации прибыли или минимизации издержек методом множителей Лагранжа. В условиях постоянной отдачи от масштаба решение задачи максимизации прибыли не существует: если для такой технологии существует вектор дающий положительную прибыль, умножая его на α, мы увеличим прибыль в α.

Рассмотрим случай двух товаров и представим решение задачи макисимизации прибыли для некоторых цен и Py графически. Для этого изобразим производственное множество Y и линии постоянной прибыли p1y1 + p2y2 = PR. Линии постоянной прибыли (изопрофиты) – это прямые с наклоном, равным . Максимизирующий прибыль вектор чистого выпуска для данной технологии y* соответствует точке касания линии уровня и границы производственного множества (трансформационной кривой).

Подставляя решения задачи максимизации прибыли в целевую функцию фирмы, мы получим прибыль как функцию от цен, - в дальнейшем будем называть ее функцией прибыли.

Свойства функции прибыли:

1. Однородность первой степени относительно цен: PR(αp) = αPR(p), для всех α>0;

2. Выпуклость по ценам;

3. Непрерывность во внутренних точках своей области определения;

4. Если функция PR(p) дифференцируема при p>>0, то имеет место лемма Хотеллинга yi(p) =

При повышении цены выпускаемой продукции (при yi > 0) прибыль растет пропорционально объему выпуска. Если же повышается цена фактора производства продукции (при yi < 0), прибыль будет падать пропорционально объему использования этого фактора. Соответствие между вектором цен решением задачи максимизации прибыли (положительные координаты вектора затраты-выпуск) будем называть предложением фирмы y(p).

Свойства y(P)

1 однородность нулевой степени относительно цен

2. если производственное множество выпукло, то y(p) – выпуклое множество

3. если производственное множество строго выпукло, то при каждом p решение задачи фирмы единственно, т.е. y(p) – функция предложения

4. имеет место закон предложения: (p1-p2)(y(p1)-y(p2)) ≥0

5. если функция прибыли дважды непрерывно дифференцируема , то матрица первых производных функции предложения (матрица Якоби) симметрична и положительно полуопределена.

3. Равновесие производителя и технический прогресс

Если технология фирмы позволяет разделить факторы производства (z) и выпускаемую продукцию (q), то задача максимизации прибыли может быть разбита на две задачи:

- задачу производства заданного выпуска q с минимальными издержками

- задачу выбора оптимального выпуска.

Изокоста – линия, объединяющая все возможные сочетания ресурсов, которые имеют одинаковую суммарную стоимость. Уравнение для линии изокосты записывается, в виде: М = wL + rK , где М – сумма денежных средств, которой располагает предприятие (бюджет); L – количество труда в соответствующих единицах измерения; w – цена единицы труда; К – количество капитала (физического) в соответствующих единицах измерения; r – цена единицы капитала.

В точке равновесия изокванта и изокоста имеют одинаковый наклон и что наклон изокванты измеряется предельной нормой технического замещения, можно записать условие равновесия как

Иными словами, норма замещения ресурсов в производстве (MRTS_{L K}) должна быть равна отношению, в котором эти ресурсы могут быть замещены друг другом на рынке

Равновесие производителя - состояние производства, при котором использование факторов производства позволяет получить максимальный объем продукции, т. е. когда изокванта занимает самую отдаленную от начала координат точку. Чтобы определить равновесие производителя, необходимо совместить карты изоквант с картой изокост. Максимальный объем выпуска будет в точке касания изокванты с изокостой

Правило наименьших издержек: затраты заданного объема производства сводятся к минимуму, когда последний рубль, затраченный на каждый ресурс, дает одинаковый предельный продукт (одинаковую величину полученной в результате товарной продукции).

Условие равновесия производителя. Равновесие производителя достигается тогда, когда он обеспечивает максимальный выпуск продукции при заданном количестве располагаемого капитала (при заданной величине стоимости производства). Это равновесие достигается, если выполняются соотношения:

МР_к/Р_к=МР_L/P_L,

Где МР_к - предельная производительность капитала,

МР_L- предельная производительность труда,

Р_к – цена капитала,

P_L – цена труда.

Правило максимизации прибыли: Правило максимизации прибыли предприятия утверждает, что предельные продукты всех факторов производства в стоимостном выражении равны их ценам, или, что каждый ресурс используется до тех пор, пока его предельный продукт в денежном выражении не станет равен его цене.

MRP = P

Один и тот же производственный процесс при различных масштабах производства может характеризоваться различными типами отдачи от масштаба. Вполне вероятно, что маленькая фирма, увеличивая количество работников и применяемый капитал, получает возможность развивать специализацию, лучше использовать производственные мощности и т.п., что приводит к возрастанию отдачи от масштаба. Наоборот, расширение масштабов деятельности крупным предприятием может привести к ухудшению координации между отдельными его звеньями, росту управленческих издержек и т.п., что обусловливает убывающую отдачу от масштаба. Однако большинство экономистов считает наиболее распространенным случай неизменной отдачи от масштаба6. Аргументация очень проста: фирма, как правило, способна повторить то, что она делала прежде. Удвоение количества всех ресурсов позволяет ей открыть второй такой же завод и удвоить выпуск. Увеличение ресурсов в 3 раза позволяет открыть третий завод и т.п.

Производственная функция с неизменной отдачей от масштаба характеризуется важным свойством: MRTS_{L K} для нее зависит только от уровня капиталовооруженности труда (соотношение и не зависит от масштаба производства. Все способы производства с одинаковым соотношением имеют одинаковую MRTS, как бы ни различались количества труда, капитала и выпуска при этих способах производства.

Технический прогресс, выражающийся в совершенствовании техники, технологии, появлении новых, прогрессивных методов организации производства, повышении квалификации работников и т.п., позволяет при прежнем количестве используемых ресурсов производить больше продукции. Или, что, то же самое, производить прежний выпуск при меньшем количестве ресурсов. Это явление может быть проиллюстрировано смещением карты изоквант к началу координат. Сплошные изокванты характеризуют производство до нововведений. Сдвиг изоквант в положение пунктирных линий характеризует влияние технического прогресса.

а) нейтральный технический прогресс	б) трудоинтенсивный технический прогресс	в) капиталоинтенсивный технический прогресс

Капиталоинтенсивный технический прогресс имеет место тогда, когда в результате нововведений при прежнем соотношении затрат труда и капитала снижается. Изокванты не только сдвигаются к началу координат, но становятся более пологими во всех точках, лежащих на одних и тех же лучах, проведенных из начала координат, где соотношение неизменно.

Трудоинтенсивный технический прогресс имеет место тогда, когда при неизменном соотношении MRTS_LК повышается. Его изокванты, сдвигаясь к началу координат, становятся круче.

Коль скоро технический прогресс приводит к росту выпуска при неизменном количестве ресурсов, он всегда сопровождается ростом производительности (среднего продукта) всех факторов производства. Но это не означает, что обязательно должна повышаться предельная производительность (предельный продукт) всех факторов.

Введем в производственную функцию параметр A(t), который характеризует изменения, связанные с техническим прогрессом

Продифференцируем уравнение по переменной t

Параметр представляет собой стандартную формулу коэффициента эластичности. В данном случае речь идет об эластичности выпуска по затратам капитала. Обозначим этот коэффициент символом εQK. Он показывает относительное изменение выпуска при изменении затрат капитала на малую величину.

Соответственно, параметр представляет собой коэффициент эластичности выпуска по затратам труда.

В итоге мы получаем уравнение:

Оно позволяет определить, в какой мере прирост выпуска (на предприятии, в отрасли, в группе отраслей или в экономике в целом) обусловлен изменением количества применяемых ресурсов и в какой — техническим прогрессом (GA).

Если фирма переходит на более высокие изокванты, используя экономически эффективные способы производства, т.е. те, которые расположены в точках касания изокост и изоквант. Соединяя эти точки, мы получаем линию, характеризующую траекторию расширения производства. Поскольку рост выпуска требует, как правило, увеличения количества всех ресурсов, траектория расширения производства имеет положительный наклон. В случае неизменной отдачи от масштаба это будет прямая линия, при убывающей или возрастающей отдаче от масштаба она может быть прямой или зигзагообразной, в зависимости от того, является производственная функция однородной или неоднородной.

Изменение траектории расширения производства при снижении цены труда с W1 до W2

В исключительных случаях рост выпуска может сопровождаться сокращением количества какого-либо ресурса. Такого рода ресурсы иногда называют ресурсами низшей категории, или некачественными. Например, механизация разгрузочно-погрузочных работ, приводя к увеличению объема выполняемой работы, может сопровождаться сокращением численности работников. В этом случае линия расширения производства фирмы будет иметь отрицательный наклон наподобие линии «доход — потребление» для товаров низшей категории в теории потребительского выбора.

Сочетания ресурсов, характеризующие экономически эффективные способы производства, формируют так называемый условный, или производный, спрос на ресурсы, при всех возможных значениях выпуска. Это — спрос на ресурсы в количестве, необходимом для определенного объема выпуска с минимальными издержками. Этот спрос нельзя путать с реальным спросом на ресурсы, который фирма предъявляет на рынке. Последний зависит от цен на ресурсы и от той величины выпуска, которую фирма считает оптимальной.

Насколько интенсивными будут изменения условного спроса на ресурсы при изменениях цен ресурсов, зависит от эластичности замещения. В предыдущей главе мы выяснили, что коэффициент эластичности замещения определяется как

Поскольку в точке оптимума (минимум издержек) коэффициент эластичности замещения можно представить в виде

Этот коэффициент показывает, на сколько процентов изменится капиталовооруженность труда в экономически эффективном способе производства при изменении отношения цен на ресурсы на один процент.

Слабая аксиома минимизации издержек (WACM- Weak Axiom of Cost Minimisation) : Если фирма минимизирует издержки на определенный объем производства, то они должны быть по крайней мере не выше того уровня, который при данных ценах сложился бы при использовании какого-либо иного способа производства. Т.е. при неизменном выпуске должны соблюдаться следующие неравенства:

или