25 Приложения определенного интеграла: вычисление длины дуги
а) Пусть y=f(x)-непрерывная функция имеющая непрерывную производную и заданная на [a,b] .
Определение : Длиной дуги кривой назовем предел, к которому стремится вписанной к нему ломаной при неограниченном увеличении числа ее сторон и при стремлении наибольшей из ее сторон к 0.
Разобьем [a,b]
на n-частей,
где
Проведем через две последующие точки деления дуги хорды. Построим ломаную.
Длина ломаной
Или, вынося
за знак корня
С учетом формулы
конечного приращения Лагранжа, согласно
которой имеем
,
.
Формулу длины
выражает интеграл суммы
.
Поэтому вся длина дуги вычисляется
В последней формуле
внесем dx
под знак корня
Если кривая задана параметрическим уравнением.
;
Длина дуги будет вычисляться следующим образом
Формула для вычисления дуги, задана параметрической формулой.
б) Полярная система.
27 Приближенное вычисление интегралов: формулы прямоугольников и трапеций.
а)
,
f(x)-непрерывная
функция на [a,b]
на n
равных частей; длина
.
Заменяем каждую полоску прямоугольником,
где за высоту примем
.
Получим
(1)
(1)-формула
прямоугольников.
б)Заменим
заданную кривую вписанной в нее ломаной
,
где
.
Тогда криволинейная трапеция заменится
фигурой, состоящей из ряда трапеций
складывая площадь приходим к формуле
(2)
(2) – формула
трапеции.
При неограниченном возрастании n, погрешность формул трапеции и прямоугольника безгранично убывают. Таким образом при достаточно большом n формулы (1) и (2) дают искомое значение интеграла с любой степенью точности.
26 Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям.
Пусть надо вычислить , где f(x) непрерывная на [a,b] функция. Положим . Причем функцию наложим условие. должна быть непрерывна на промежутке
1)
2)
3) на
Тогда справедлива формула
(1)
Т.к. по предположению подынтегральная функция непрерывна , то существует и соответствующие неопределенные интегралы слева и справа в (1) и можно воспользоваться основной формулой (*).
Причем, если F(x)- первообразная функции f(x), то , то первообразная .
Замечание. В отличие от замены в неопределенном интеграле, здесь не надо возвращаться к первой переменной x. Т.к., если вычислим второй интеграл по t, представляют собой число, то тем самым вычислим и первый интеграл.
Интегрирование по частям.
28 Приближенное вычисление интегралов: параболическое интерполирование.
Для приближенного
вычисления определенного интеграла
можно заменить функцию f(x)
близким к ней паленомом
и положим, что этот интеграл равен
паленому
(3)
При этом подходе вычисление площади кривой f(x) заменяется параболой k-ого порядка.
Выбор интерполяционного
паленома
производят таким образом: в [a,b]
берут (k+1)
значений независимой переменной
и подбирают
так, что при взятых значениях x,
его значения совпадают со значениями
f(x).
Этим условием
паленом
определяется
однозначно, и его выражение дается
интерполяционной формулой Лагранжа
При этом
интерполировании получается линейное
относительно
выражение
коэффициенты, которого от этих значений
уже не зависят.
Простейший случай
при k=0;
f(x)
заменяется постоянной
,
где
-
любая точка промежутка [a,b].
Например, средняя
.
То где
(4)
Геометрически получаем, что площадь криволинейной фигурой заменяется площадью прямоугольника равной средней его ординате.
При k=1.
f(x)
заменяется
,
то получим, что
.
Вычисляя, получаем
(5)
Таким образом, площадь фигуры заменяется площадью трапеции. Вместо кривой берется хорда, соединяющая ее концы.
Возьмем k=2.
Положим
Интегрируя этот
паленом,
(6)
Площадь фигуры под кривой заменяется площадью фигуры, ограниченной площадью параболы проходящей через крайнюю и среднюю точкой кривой.
3) Дробление промежутка интегрирования.
Разобьем [a,b]
на n
равных частей
(7)
Каждому из этих промежутков применим параболическое интегрирование. То есть будем вычислять интегралы, существующие по функциям (4)(5)(6).
Тогда ясно, что из функций (4)(5) снова придем к формулам трапеции и прямоугольника.
Применим (7) в формулу (6)
(8) Формула
Симпсона(параболы)
При одинаковых затратах труда формула (8) дает более точный результат, чем формулы прямоугольника и трапеции.