19 Свойства определенных интегралов (св.8-9).
8) Если f(x) интегрируема на [a,b]. M-наибольшее, m-наименьшее значения функции f(x) на [a,b], то интеграл с
Доказательство:
Рассмотрим две
функции
,
По свойствам
интеграла следует,
Учитывая,
,
,
получаем требуемое.
Наша площадь
больше, чем
но меньше
.Название
свойства – оценка интеграла.
9) Теорема о среднем для о.и.
1. f(x)
интегрируема на [a,b]
и заключается в
2. Если f(x)
непрерывна на[a,b]
, то
Доказательство:
По свойству 8
Если f(x)
непрерывна, то она хотя бы раз примет
каждое значение из промежутка [m,M].
Следовательно, при некотором
она примет и значения
20 Определенный интеграл с переменным верхним пределом.
1) О.и. с переменным верхним пределом
Пусть f(x) интегрируема на [a,b], тогда она будет интегрируема на промежутке [a,x], где x любое из [a,b].
Заменив в о.и.
верхний предел b
на x
получим выражение
,
которое будет являться функцией от x.
Свойства функции f(x):
1. Если f(x) подынтегральная функция интегрируемая на [a,b], то Ф(x) будет непрерывной функцией от x в [a,b].
Доказательство:
Зададим переменной
x
некоторое приращение
(h
выбираем так, чтобы
)
Получим новое
задание функции
.
Применим к интегралу теорему о
среднем(свойство 9)
(1)
,
где
наибольшее,
наименьшее значение промежутка [x,x+h].
Тогда выполняется, что
.
Устремив h
к 0 получим, что
,
(
),
что и доказывает непрерывность функции.
2. Если f(t)
непрерывна в точке t=x,
то
имеет
производную в этой точке равную f(x)
Доказательство:
Итак, согласно
формуле (1)
,
где
.
Т.к. f(t)
непрерывна при t=x,
то
можно подобрать такое
.
То есть
,
значит
.
,
значит
Вывод:
Если f(x)
непрерывна во всем [a,b],
то она интегрируема и по свойству 2 для
любой точки x
из [a,b].
Значит, что производная от интеграла
равна значению подынтегральной функции
в точке x.
Итак, для непрерывной в [a,b] функции всегда существует первообразная. Примером ее является о.и. с переменным верхним пределом.
2)
аналогично вводится интеграл с переменным
нижним пределом. Изучать его свойства
нет смысла, т.к.
по
свойству.
21 Основная формула интегрального исчисления.
Пусть f(x)
непрерывна на [a,b],
тогда
будет являться первообразной функцией
для f(x),
т.к. (
).
Если теперь F(x)
любая первообразная для f(x),
то
.
Для определения с(const).
x=b
(*)
Формула Ньютона-Лейбница. Основная формула интегрального исчисления.
Значение о.и.
выражается разностью двух значений
при x=a
и x=b.
Если применить теорему о среднем и
учтем, что
,
то получим, что
Получили формулу для конечных приращений Лагранжа для F(x). Таким образом, основная формула (*) устанавливает связь между теоремой о среднем, дифференциальным и интегральным исчислении.