16 Классы интегрируемых функций.

Из непрерывности функции на [a,b] (по теореме Кантора о равномерной непрерывности), тогда , т.к. (b-a) постоянное число, а сколь угодно малое, то получаем, что условие 1 выполнено.

Утверждение 2: Если ограниченная функция f(x) в [a,b] имеет лишь конечное число точек разрыва, то она интегрируема.

Утверждение 3: Монотонная ограниченная функция f(x) всегда интегрируема.

Доказательство:

Пусть f(x) – монотонно возрастающая функция, тогда ее колебания в i-м частичном промежутке равно возьмем любое и положим , как только будем иметь существование о.и.

17 Свойства интегрируемых функций.

Свойства:

1) Если f(x) интегрируема на [a,b], то , - производная константа

Доказательство:

Т.к. для любых точек выполняется , то и колебания функции на не превосходит колебаний f(x);

Поэтому и если сумма справа стремится справа к 0, то и слева тоже стремится к нулю, что влечет за собой интегрируемость функции .

2) Если 2 функции f(x) и g(x) интегрируема на [a,b], то их сумма, разность и произведение также интегрируема.

Доказательство(для произведения):

Пусть , если функция интегрируема, она необходимо ограничена и рассмотрим разность

Получим, что

Тогда, т.к. любые точки из , то для колебания функции f*g обозначим будем иметь и т.к. f и g по отдельности интегрируемы, умножив это неравенство на и просуммировав получим

( ) f*g интегрируема

3) Если f(x) интегрируема на промежутке [a,b], то она интегрируема и в любой части этого промежутка. И наоборот если [a,b] разложим на части и в каждой части f(x) интегрируема, то она интегрируема и во всем [a,b].

Доказательство:

Пусть f(x) интегрируема f(x) в [a,b]. Построим для [a,b] сумму , считая, что входят в состав точек деления. Аналогично сумма, для промежутка получится из составленной суммы, если из нее опустить ряд слагаемых(положительных). Ясно что эта сумма, для будет стремиться к 0, если вся сумма для [a,b] стремилась к 0.

4) Если изменить значения интегрируемой функции в конечном числе точек (равном k), то интегрируемость ее не нарушится

Доказательство:

Изменения коснутся не более чем k членов суммы. При этом значение самого интеграла не изменится. Это следует из того, что для обеих функций (исходной и измененной) точки в интегральной сумме можно выбирать так, что бы они не совпадали с теми точками, для которых их значения рознятся.

18 Свойства определенных интегралов (св.1-7).

1) Пусть интегрируема в [a,b], тогда будет интегрируема на [a,c] и [с,b] причем (свойство аддитивности о.и. относительно промежутка интегрирования)

Доказательство:

Рассмотрим разбиение [a,b] на части, причем точку с считаем точкой деления.

Составим интегральную сумму , переходя к пределу при получим требуемое

2) Если интегрируема на [a,b], то

3) Если f(x) и g(x) интегрируема на [a,b], то (свойство аддитивности о.и. относительно подынтегральных функций)

Доказательство:

На основе интегральных сумм

4) Пусть f(x) интегрируема на [a,b] и на [a,b]. Тогда

5) Если f(x) и g(x) интегрируема на [a,b] и на [a,b], то и интеграл

Доказательство:

По предыдущим свойствам f(x) - g(x)

6) Пусть f(x) интегрируема на [a,b], тогда

Доказательство:

То что |f(x)| интегрируемая функция доказано в 9.4 свойство 1. Остается применить предыдущее свойство 5 к

7) Пусть f(x) интегрируема тогда при перестановке пределов интегралов, интеграл меняет знак