14 Суммы Дарбу. Свойства сумм Дарбу.
1) Обозначим
и
соответственно нижнюю и верхнюю границы
для функции
на промежутке
Составим суммы
(нижняя
сумма Дарбу) и
(верхняя сумма Дарбу)
Из определения
нижней и верхней границ известно, что
.
Поэтому, умножив все части неравенства
и просуммировав их, получим, что
При заданном разбиении промежутка, суммы Дарбу служат точными нижней и верхней границами для интегральной суммы. Суммы Дарбу обладают следующими свойствами:
1. Если к имеющимся точкам деления промежутка добавить новые точки, то нижняя сумма Дарбу может от этого только возрасти, а верхняя только уменьшится.
Доказательство:
Пусть задано
разбиение R.
Добавим к этому разбиению еще одну
точку
.
Обозначим через
новую
полученную сумму Дарбу. От прежней
суммы
она будет отличаться тем, что в
промежутку
соответствует слагаемое
,
а в новой
этому же промежутку будет соответствовать
,
где
верхняя
граница на
,
а
на
.
Т.к. было точной верхней границей на всем промежутке , то
;
Тогда получается,
что
Получаем, что
.
Для нижней суммы Дарбу аналогично.
2. Каждая нижняя сумма Дарбу не превосходит каждой верхней суммы, хотя бы отвечающей к другому разбиению промежутка.
Доказательство:
Рассмотрим разбиение
промежутка [a,b]
и рассмотрим
и
.
Рассмотрим теперь другое, не связанное
с первым разбиение. Ему будут
соответствовать суммы
и
.
Докажем, что
Объединим точки
деления первого и второго разбиения,
то есть получим третье вспомогательное
разбиение, которому будут отвечать
суммы
и
.
Т.к. третье разбиение получено из первого
добавлением новых точек, то согласно
свойству 1 получаем, что
.
Сопоставив второе и третье разбиение,
также заключаем, что
,
но т.к.
,
то получим
;
Замечание: Из
доказанного следует, что все множители
нижних сумм {S}
ограничено сверху (например, любой
верхней суммой) в таком случае это
множество имеет конечную верхнюю точную
границу.
для
всех нижних сумм т.к. множество верхних
сумм {S}
оказывается ограничено снизу (
),
то оно имеет точную нижнюю границу
причем
.
В результате имеем
(1).
Числа
и
называют нижним и верхним интегралами
Дарбу.
15 Условие существования интеграла.
Теорема. Для
существования определенного интеграла
необходимо и достаточно, что бы
(2).
Доказательство:
Условие 2 означает
(то
есть промежуток разбит на части длинами
)
а) Необходимость
Пусть существует
интеграл
. Тогда
или
при любом выборе
т.к. s,
S-
суммы Дарбу являются при заданном
разбиении дл интегральных сумм нижними
и верхними границами, то получается
так что
и
.
Таким образом выполняется формула 2.
б) Достаточность
Итак, выполним
условие 2. Докажем, что о.и. существует,
тогда из формулы 1 следует, что
.
Обозначим общее значение через I
, получим, что
.
Пусть
одно из значений интегральной суммы,
отвечающей тому же разбиению, что и
сумма Дарбу
Согласно условию
2 при достаточно малых
,
разность
,
но в таком случае справедливо и для
заключенных s
и S
чисел
,
то есть
то есть существование доказано.
Обозначим колебание
функции в i-м
частичном промежутке, через
,
тогда
,
тогда условие существование интеграла
(2) переписываем в виде (3)
Именно в этом виде условие и используется.