10 Интегрирование тригонометрических функций.
1) Интегрирование
дифференциалов
В любом промежутке
вида
для интегрирования указанных
дифференциалов можно применить
универсальную подстановку
Таким образом,
интеграл
всегда выражается в конечном виде. Для
их выражения кроме функций встречающихся
при интегрировании рациональных
выражений нужны лишь тригонометрические
функции.
2) Универсальная подстановка всегда ведет к цели, но в силу своей общности, она часто не является лучшей в плане краткости.
Рассмотрим частные случаи:
,
данный интеграл находится с помощью
тригонометрических формул в зависимости
от n
и m.
а)
Если хотя
бы одно из n
и m
положительно
и нечетно, то от нечетной степени
отделяем множитель, а оставшийся, в
четной степени, преобразуем через
,
отделенный множитель вместе с dx
дают либо
дифференциал синуса, либо косинуса.
б) Если n
и m
оба
положительные и четные, то применяем
формулы понижения порядка
в) Если
выгодно выполнить
11 Подстановки Эйлера
Рассмотрим
,
где
не имеет кратных корней.
Первая подстановка
применяется, если
,
тогда полагают, что
Вторая подстановка
применима при
Замечание:
Рассмотрим
случаи
,
приводятся один к другому подстановкой
,
поэтому использование второй можно и
избежать.
Третья подстановка
применяется, когда
имеет различные действительные корни
,
тогда делается подстановка
12 Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
Задача 1.
Пусть дана криволинейная трапеция,
ограниченная прямыми
и графиком функции
на [a,b].Найдем
площадь этой трапеции.
Рассечем отрезок
[a,b]
точками
.
Выберем в каждом из полученных
промежутков
и
зафиксируем
.
Т.к. функция
непрерывна, а частичные промежутки
малы, то можно считать, что функция мало
меняется на каждом из этих промежутков,
следовательно площадь каждого i
столбика равна
. Тогда площадь всей трапеции равна
.
Устремим максимальную
из длин промежутков к 0
.
Перейдем к пределу и получим точное
значение для суммы трапеций
(1)
Задача 2.
Пусть материальная точка движется
прямолинейно со скоростью
,
где
функция от времени. Определим путь
который пройдет материальная точка от
Разобьем временной
промежуток на частичные промежутки
точками
т.к.
функция непрерывна, а промежутки малы,
то считаем что на каждом частичном
промежутке функция меняется мало.
Выберем в каждом из них и зафиксируем
тогда получим, что частичный путь
тогда весь путь получим, просуммировав
все
и
перейдя к пределу из
получим
(2)
13 Определение определенного интеграла.
Пусть на промежутке [a,b] задана функция
Определение
1: Разбиением
промежутка [a,b]
будем называть любой набор точек вида
.
Если в каждом из частичных промежутков
выбрана точка
то говорят, что задано разбиение с
фиксированными точками. Обозначим
Возьмем некоторое
разбиение промежутка [a,b]
и составим сумму
Наибольшую из разностей
Определение
2: Если
существует конечный предел при
то он называется о.и. от функции
по промежутку [a,b].
Обозначается
.
a
и b
называют верхний и нижний пределы
интегрирования.
Итак, непосредственно
по определению
(3)
.
называется интегрируемой суммой для
функции f
по разбиению P.
Равенство (3) можно понимать в том случае,
что
последовательное
значение
интегральной
суммы,
отвечающей
любой
основной последовательности
разбиения промежутка,
всегда стремится к пределу I как не
выбирать при этом точки
.
Теперь формулы (1) и (2) получают более
конкретный
смысл
(1’) В этом заключается геометрический
смысл о.и..
(2’)
– механический смысл о.и.
Функции, которые имеют такой интеграл, называются интегрируемые по Риману, Риманов интеграл. Множество интегрируемых на [a,b] функций обозначаем R([a,b]). Выясним условие при которых интегральная сумма имеет конечный предел, то есть существует о.и..
Заметим, что определение 2 может быть приложено лишь к ограниченной функции. Если бы была не ограничена на [a,b], то при любом разбиении промежутка [a,b], хотя бы в каком-либо частичном промежутков она осталась бы неограниченной поэтому интегральная сумма за счет выбранных была бы неограниченна и соответственно конечного предела существовать не могло.
Итак, интегрируемая
функция необходимо ограничивать. В
дальнейшем будем считать
ограниченную
.