31. Уравнение Гельмгольца

Г.у – Гельмгольца уравнение

ГЕЛЬМГОЛЬЦА УРАВНЕНИЕ - уравнение с частными производными вида

где с - постоянное число. к Гельмгольца уравнение приводит изучение установившихся колебательных процессов. При с=0 Гельмгольца. уравнение. переходит в Лапласа уравнение. В случае, если в правой части Гельмгольца . уравнение. стоит функция f(x) , это уравнение называется. неоднородным.

Для Г. у., являющегося уравнением эллиптич. типа, в ограниченной области ставятся обычные краевые задачи (Дирихле, Неймана и др.). Те значения с, для к-рых существует не равное тождественно нулю решение однородного Г. у., удовлетворяющее соответствующему однородному краевому условию, наз. собственным значением оператора Лапласа (соответствующей краевой задачи). В частности, для задачи Дирихле все собственные значения положительны, а для задачи Неймана - неотрицательны. Для значений с, совпадающих с собственными значениями, решение краевой задачи для Г. у. заведомо не едннственно. Если же значения отличны от собственных, то теорема единственности справедлива.

При решении краевых задач для Г. у. применяются обычные методы теории эллиптич. уравнений (сведение к интегральному уравнению, вариационный метод, метод конечных разностей).

В случае неограниченной области с компактной границей для Г. у. ставятся внешние краевые задачи, которые при C<) имеют единственное решение, стремящееся к нулю на бесконечности. При С>0 стремящееся к нулю на бесконечности решение Г. у., вообще говоря, не является единственным. В этом случае для выделения единственного решения ставят дополнительные условия (см. Внешняя и внутренняя краевые задачи, Предельного поглощения принцип).

Для регулярного в области G решения Г. у. справедлива следующая формула среднего значения

Где - сфера радиуса г с центром в точке х а, целиком лежащая в области - Бесселя функция порядка

51. Уравнения электродинамики как следствие законов сохранения зарядов.

Если речь идет о электрических зарядах, то член g внешнего и внутреннего притока не равен 0.

+ div = g

Уравнение электродинамики

+ div J= g (1)

Произвольные заряды, которые существуют можно выразить с помощью div поля, которое называется индукцией.

g = div D (2)

g = div G (3)

F (x, y, z) = grad U + rot Z

div rot= 0’

1 и 2 подставим в 3 получим

div ( D +J+G) = 0 (4)

div z=0 тогда z= rot s

из 4 + D + J +G = rot H уравнение Максвелла

Для магнитного заряда = 0

Магнитные заряды – некоторые фиктивные заряды которые вводятся для описания магнитной индукции.

B div = m

div B = 0

Но если какой то вектор то это означает что это поле rot некоторого поля.

B = - rot E

B + rot E = 0

div B = 0 магнитный заряд отсутствует. Представляет собой перефразированный закон заряда электрического, магнитного выражения через соответственный индекс, а из равенства 0 div следует существование полей rot = этим индексам.