3.З. Цилиндрическая труба

Теплота отводится через внешнюю поверхность трубы. Температурное поле в стенке трубы с внутренним радиусом и внешним

(3.20)

где , – температура на внутренней теплоизолированной поверхности трубы.

Подставляя в формулу (3.20) , можно получить расчетное выражение для перепада температуры в стенке

(3.21)

формулу для линейной плотности теплового потока

(3.22)

где – температура на внешней поверхности трубы.

Теплота отводится через внутреннюю поверхность трубы.

Температурное поле в стенке трубы

(3.24)

Перепад температур в стенке

(3.25)

Линейная плотность теплового потока

(3.26)

Теплота отводится через обе поверхности трубы.

Перепад температур в стенке

(3.27)

где – радиус поверхности, которая имеет наибольшую температуру

.

Этот радиус определяется из зависимости

(3.28)

Наибольшую температуру в стенке трубы можно найти по выражению

(3.29)

3.4. Теплообмен в условиях электрического нагрева

При прохождении электрического тока по проводнику цилиндрической формы диаметром do и длиной l температуры рассчитываются формулам (3.12) и (3.15), в которых выражается через электрические параметры: I–силу тока, A; U–напряжение, В; –электрическое сопротивление проводника, Ом:

(3.30)

где –удельное электрическое сопротивление материала проводника, Ом-м.

Глава четвертая

ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ НЕСТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ

Нестационарная теплопроводность характеризуется изменением температурного поля тела во времени и связана с изменением энтальпии тела при его нагреве или охлаждении. Безразмерная температура тела определяется с помощью числа Био Bi=al/ , числа Фурье Fо =а / и безразмерной координаты, обозначаемой для пластины X=х/ , а для цилиндра R= . Охлаждение (нагревание) тел происходит в среде с постоянной температурой , при постоянном коэффициенте теплоотдачи а; , и а – теплопроводность и температуропроводность материала тела, l–характерный размер тела ( для пластины, для цилиндра), х и r–текущие координаты соответственно для пластины и цилиндра.

4.1. Тела с одномерным температурным полем

Пластина толщиной . Безразмерная температура пластины

(4.1)

где t-температура в пластине для момента времени в точке с координатой х; – температура пластины в начальный момент времени..

Если Fo>0,3, то температура на поверхности пластины (Х=1)

(4.2)

Температура на середине толщины пластины (Х=0)

(4.3)

Температура внутри пластины на расстоянии х от ее средней плоскости

(4.4)

где определяются по табл. 5 приложения для пластины в зависимости от числа Bi.

Температура и можно определить по графикам рис. П.1,П.2 по известным числам Bi и Fo.

Цилиндр радиусом . Безразмерная температура цилиндра

(4.15)

где t–искомая температура в цилиндре для радиуса и времени ,

Если Fo>0,3, то температура на поверхности цилиндра (R=1)

(4.6)

Температура на оси цилиндра (R=0)

(4.7)

Температура внутри цилиндра для радиуса

(4.8)

определяются по табл. 6 приложения для цилиндра в зависимости от числа Bi; –функция Бесселя первого рода нулевого порядка (табл. 19 приложения).

Температуры и можно определить по графикам рис. П.З рП.4 Приложения по известным числам Bi и Fo.

4.2. Тела конечных размеров

Температура определяется на основе теоремы о перемножении решений: безразмерная температура тела конечных размеров при нагревании (охлаждении) равна произведению безразмерных температур тел с бесконечным размером, при пересечении которых образовано данное конечное тело.

Цилиндр длиной и радиусом (рис. 4.1). Он образован пересечением бесконечной пластины толщиной и бесконечного цилиндра радиусом .

Безразмерная температуры стержня равна

(4.9)

Рис. 4.1. Цилиндрический стержень длиной l=2δ и ра­диусом r₀

где (или функция ) при Fo>0,3 определяется по формулам (4.1)–(4.3) и графикам рис. П.1 и П.2 приложения для бесконечна пластины толщиной (или функция 02) при Fo>0,3 определяется по формулам (4.5)–(4.7) и графикам рис. П.З и П.4 приложения для бесконечного цилиндрического стержня радиусом .

При Fo>0,3 безразмерная температура внутри цилиндрического стержня в точке с координатами х и будет определяться аналоги но, но рассчитывается по формуле (4.4), a –по формуле (4.4) с использованием табл. 5 и 6 приложения.

Параллелепипед со сторонами (рис. 4.2). Безразмерная температура или

(4.10)

Рис. 4.2. Параллелепипед со сторонами 2х, 2у, 2z

Функции определяются по формулам (4.1)–(4.4), по табл. 5 и по графикам рис. П.1 и П.2 приложения для бесконечной пластины с учетом места расположения интересующей нас точки в параллелепипеде.

1.3. Расчет отданной (воспринятой) телом теплоты

Количество теплоты , Дж, отданной (воспринятой) телом за время t

в процессе охлаждения (нагревания), равно

(4.11)

где Q_o–количество теплоты, переданной за время полного охлаждения (нагревания), Дж; –средняя по объему безразмерная температура тела в момент времени t.

Для пластины толщиной и площадью поверхности F теплота. Преданная за время полного охлаждения, равна

(4.12)

где m–масса пластины, кг; с–теплоемкость материала пластины, Дж/(кг·К); –его плотность, кг/м³.

Средняя по объему безразмерная температура пластины в момент времени при Fo>0,3 равна

(4.13)

Для цилиндра радиусом и длиной l теплота, отданная за время полного охлаждения, равна

(4.14)

Средняя по объему безразмерная температура цилиндра в момент времени при Fo>0,3 равна

(4.15)

Средняя безразмерная температура цилиндра конечной длины

(4.16)

где функция определяется по формуле (4.13), а – по (4.15).

Для параллелепипеда со сторонами (рис. 4.2) теплота, отданная за время полного охлаждения, равна

(4.17)

Средняя безразмерная температура параллелепипеда

(4.18)

где функции определяются по формуле (4.13).

Если Fo<0,3, то для вычисления Q используется ряд, члены кото­рого определяются формулами типа (4.13), (4.15), причем величины определяются по таблицам, приведенным, например, [12].

4.4. Регулярный режим охлаждения (нагревания) тел

Теорию регулярного режима разработал Г. М. Кондратьев. Процесс охлаждения тела в среде с постоянной температурой и постоянным коэффициентом теплоотдачи а можно разделить на три режима

1) неупорядоченный– на процесс влияет начальное распределение температуры в теле;

2) регулярный– в любой точке тела относительная скорость изменения температуры, называемая темпом охлаждения (нагревания) остается постоянной и не зависит от времени;

3) стационарный – температура во всех точках тела равна температуре среды (тепловое равновесие).

В регулярном режиме темп охлаждения (нагревания), т, с-¹, определенный по двум моментам времени и , равен

(4.19)

где –избыточные температуры в любой точке тела в моменты времени и .

Темп охлаждения m зависит от физических свойств тела, его размеров и формы, коэффициента теплоотдачи и не зависит от времени координат.

Первая теорема Г. М. Кондратьева для регулярного режима. выражается формулой

(4.20)

где F и V – площадь поверхности и объем тела; – коэффициент 1 равномерности распределения температуры в теле, определяемый следующим образом:

(4.21)

где модифицированная форма числа Bi; К–коэффициент формы тела, м².

Коэффициент зависит от условий процесса на поверхности тел при Bi<0,l =1 (температуры, усредненные по поверхности и объем тела, одинаковы), при Bi>100 =0 (температура поверхности тела равна температуре среды).

Вторая теорема Г. М. Кондратьева: при высокой интенсивности теплоотдачи темп охлаждения пропорционален коэффициенту температуропроводности материала тела а, /с:

(4.22)

Коэффициент формы К различных тел:

для шара радиусом

(4.23)

для цилиндра длиной l и радиусом

(4.24)

для параллелепипеда со сторонами a,b,c

(4.25)

Глава пятая

ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ТЕПЛОВЫМ ПРОЦЕССАМ

При экспериментальном изучении тепловых процессов принято выражать математическое описание процесса и расчетные уравнения в виде зависимостей между числами (критериями) подобия, представляющими собой безразмерные комплексы.

Уравнения подобия, выражая обобщенную зависимость между величинми, характеризующими процесс, справедливы для всех подобных между собой процессов. Первая теорема подобия: для подобных между собой процессов все одноименные числа подобия численно одинаковы, например Re==idem, Pr=idem. Согласно второй теореме подобия связь между числами подобия выражается в форме однозначной функциональной зависимости, например Nu=f(Re, Pr, Gr, ...).

Третья теорема подобия утверждает, что условия подобия физических явлений, заключаются в подобии условий однозначности и равенстве одноименных чисел подобия, составленных из величин, входящих в| эти условия.

5.1. Числа теплового и гидромеханического подобия процессов

Нуссельта число–безразмерный коэффициент теплоотдачи

, (5.1)

-теплопроводность жидкости; l–характерный линейный размер.

Средний коэффициент теплоотдачи в формуле (5.1)

к начальному температурному напору

(5.2)

к среднеарифметическому напору

(5.3)

или к среднелогарифмическому напору

(5.4)

где – средняя температура стенки; – температура набегающего потока или среднемассовая температура жидкости на входе в трубу, в теплообменник; – среднемассовая температура жидкости на выходе из трубы, теплообменника.

Если , то вместо (5.4) можно использовать (5.3), т. е.

(5.5)

Прандтля число – безразмерная характеристика теплофизических свойств жидкости

(5.6)

где и –кинематическая, , и динамическая, Па-с, вязкости, =vp; и –плотность, кг/м³, и изобарная массовая теплоемкость Дж/(кг-К), жидкости; а= –температуропроводность жидкости, .

Пекле число – критерий теплового подобия

(5.7)

где Re – число Рейнольдса; w – характерная скорость потока, м/с

Стантона число – критерий вынужденного конвективного переноса теплоты

(5.8)

Фурье число – критерий тепловой гомохронности

(5.9)

где – время протекания нестационарного процесса теплопроводности

Био число–критерий краевого подобия

(5.10)

где l –характерный линейный размер твердого тела; –теплопроводность твердого тела.

Тепловой критерий фазового превращения

(5.11)

где r–теплота испарения (конденсации), Дж/кг; –разность температур насыщения и перегрева (переохлаждения) фазы; –разность энтальпий фазы в состояниях насыщения и перегрева (переохлаждения).

Галилея число–критерий подобия полей свободного течения

(5.12)

g-ускорение свободного падения, м/с².

Грасгофа число–-критерий свободной тепловой конвекции

(5.13)

где -коэффициент объемного расширения, ; для идеальных газов ; для капельных жидкостей приближенно , где и –плотности жидкости при и . Для воды -можно определить по табл. 3 приложения.

Релея число– критерий теплообмена при свободной конвекции

(5.14)

Фруда число – критерий гравитационного подобия, характеризует меру отношения сил инерции и тяжести в потоке:

(5.15)

Рейнольдса число – критерий режима движения жидкости

(5.16)

Эйлера число- критерий подобия полей давления

(5.17)

-перепад давления на участке движения жидкости.

Архимеда число – критерий свободной конвекции

(5.18)

где –плотности жидкости в двух точках потока.

Определяющая температура, до которой выбираются теплофизические свойства жидкости или газа, входящие в числа подобия, указывается нижним индексом возле числа подобия: «ж», «с», «п.с»–соответственно средняя температура жидкости, стенки, пограничного слоя. Например,

(5.19)

Определяющий геометрический размер также может быть указан нижним индексом возле числа подобия: l и h–длина и высота поверхности, d– диаметр трубы и т. п. Например,

(5.20)

Глава шестая

ТЕПЛООТДАЧА ПРИ ВЫНУЖДЕННОМ ДВИЖЕНИИ ЖИДКОСТИ