Министерство образования и науки Российской Федерации

ФГБОУ ВПО «Ижевский государственный технический университет им. М.Т.Калашникова»

Факультет «Математика и естественные науки»

Кафедра «Физика и оптотехника»

Отчет по лабораторной работе №1

«Определение ускорения свободного падения с помощью математического маятника»

Выполнил

студент гр. Б02-731-1 _____________________ Д.М. Бузанов

^{число, подпись}

Проверил

ст. преподаватель каф. «МиЕН» _____________________ А.С. Перминов

^{число, подпись}

Ижевск

2012

Отчет по лабораторной работе № 1

«Определение ускорения свободного падения с помощью математического маятника»

Цель работы:

• изучить законы колебания математического маятника;

• научиться производить прямые и косвенные измерения;

• научиться производить расчеты погрешностей при проведении прямых и косвенных измерений;

• измерить ускорение свободного падения (на широте г. Ижевска).

Краткое изложение теоретических предпосылок для проведения работы.

Ускорение свободного падения тел можно измерить несколькими методами, в частности, с помощью математического маятника. Метод математического маятника является одним из наиболее простых и точных методов измерения ускорения свободного падения тел вблизи поверхности Земли.

Математическим маятником называют тело небольших размеров, подвешенное на тонкой нерастяжимой нити, масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой тела. В положении равновесия, когда маятник висит по отвесу, сила тяжести  уравновешивается силой натяжения нити.  При отклонении маятника из положения равновесия на некоторый угол φ появляется касательная составляющая силы тяжести Fτ = –mg sin φ. Знак «минус» в этой формуле означает, что касательная составляющая направлена в сторону, противоположную отклонению маятника.

Рисунок 1. Математический маятник. φ – угловое отклонение маятника от положения равновесия, x = lφ – смещение маятника по дуге.

Если обозначить через x линейное смещение маятника от положения равновесия по дуге окружности радиуса l, то его угловое смещение будет равно φ = x / l. Второй закон Ньютона, записанный для проекций векторов ускорения и силы на направление касательной, дает:

Это соотношение показывает, что математический маятник представляет собой сложную нелинейную систему, так как сила, стремящаяся вернуть маятник в положение равновесия, пропорциональна не смещению x, а sin x/l. Только в случае малых колебаний, когда приближенно sinx/l можно заменить на  x/l математический маятник является гармоническим осциллятором, то есть системой, способной совершать гармонические колебания. Колебания маятника при больших амплитудах не являются гармоническими. Для малых колебаний математического маятника второй закон Ньютона записывается в виде

 Таким образом, тангенциальное ускорение aτ маятника пропорционально его смещению x, взятому с обратным знаком. Это как раз то условие, при котором система является гармоническим осциллятором. По общему правилу для всех систем, способных совершать свободные гармонические колебания, модуль коэффициента пропорциональности между ускорением и смещением из положения равновесия равен квадрату круговой частоты:

 Эта формула выражает собственную частоту малых колебаний математического маятника. Следовательно,

Приборы и принадлежности:

Приборы:

линейка цена деления 1,0 мм;

секундомер цена деления 0,1 сек.

Принадлежности:

Схема экспериментальной установки приведена на рисунке 1

Рисунок 2 – Экспериментальная установка для определения ускорения свободного падения с помощью математического маятника

1 – массивное основание;

2 – стойка;

3 – подвес (нитка считается абсолютно нерастяжимой и невесомой);

4 – груз математического маятника;

L – длина подвеса.

Расчетные формулы и соотношения

Прямые измерения.

Прямыми измерениями называются измерения, проводимые прямым методом, при котором искомое значение физической величины получают путем сравнения этой величины с ее единицей.

Среднее значение измеряемой величины X производится по формуле:

(1),

где – измеренное значение величины (непосредственно измеренное тем или иным измерительным прибором);

i – номер измерения;

n – число непосредственных измерений в проводимом эксперименте.

Случайная ошибка измеряемой величины (при прямых измерениях) определяется по формуле:

(2),

где – коэффициент Стьюдента для числа измерений равных n и уровне доверительной вероятности P=95% (берется из таблиц для соответствующих n и P).

Приборная ошибка при прямых измерениях определяется по формуле:

(3),

где – коэффициент Стьюдента для бесконечного числа измерений и уровне доверительной вероятности P=95% (берется из таблиц для соответствующих n и P),

f – цена деления измерительного прибора

Полная ошибка при измерениях (прямых) определяется по формуле:

(4),

Если какая-либо из ошибок превосходит другую в 10 и более раз, то при определении полной ошибки по формуле (4) меньшей ошибкой можно пренебречь.

Результат прямого измерения представляется в виде:

Величина (длина подвеса) равна

(5),

при доверительной вероятности 95%

Косвенные измерения

Косвенное измерение - определение искомого значения физической величины на основании результатов прямых измерений других физических величин, функционально связанных с искомой величиной.

В настоящей лабораторной работе проведены косвенные измерения следующих величин:

• период колебаний математического маятника ;

• ускорение свободного падения .

Измерение периода колебаний математического маятника (косвенные измерения) проводится по формуле:

(6),

где – время полных колебаний математического маятника;

– число полных колебаний математического маятника.

Определение погрешности (ошибки) измерения периода колебаний математического маятника (косвенные измерения) проводится по формуле:

(7).

Результат измерения представляется в виде:

период колебаний математического маятника равен:

при доверительной вероятности 95%.

Определение (измерение) ускорения свободного падения в поле тяжести Земли (косвенное измерение) проводится по формуле

(8),

где – результат прямого измерения длины подвеса математического маятника,

– период свободных колебаний математического маятника (результат косвенного измерения),

Определение ошибки измерения ускорения свободного падения (косвенное измерение) проводится по формуле:

(9).

Результат измерения представляется в виде:

ускорения свободного падения равно:

при доверительной вероятности 95%

Выполнение работы

Этап 1: измерение длины подвеса математического маятника (прямое измерение)

Линейкой измерили длину маятника (от точки подвеса до центра шарика). В ходе выполнения данного этапа было проведено 5 измерений длины подвеса математического маятника . Результаты представлены во 2 графе таблицы 1.

Таблица – 1

Номер измерения
1	498	2,2	4,84
2	500	0,2	0,04
3	500	0,2	0,04
4	501	- 0,8	0,64
5	502	- 1,8	3,24
500,2 (мм)			= 8,8

Среднее значение длины подвеса математического маятника определялось по формуле (1):

500,2 (мм)

Случайная ошибка измерения длины подвеса математического маятника определялась по формуле (2):

где =2,8

Приборная ошибка при измерениях определяется по формуле (3):

(мм)

где =2,0

f = 1,0 мм

Полная ошибка при измерении определялась по формуле (3):

Таким образом, полученный результат:

L = 500,2 + 1,9 (мм)

Этап 2: определение времени 20^-ти полных колебаний математического маятника t (прямое измерение)

1. Отклонив маятник от положения равновесия на 5 градусов, предоставили ему возможность свободно колебаться.

Измеряем растояние Х, на которое нужно отодвинуть маятник.

sin α = x/500,2

x = 500,2 ∙ sin α

α = 5

sin α = 0,0872

x = 500,2 ∙ 0,0872

x = 43,6 (мм)

2. В момент наибольшего отклонения маятника пускают в ход секундомер и отсчитывают время , в течение которого маятник совершает N=20 полных колебаний. В ходе выполнения данного этапа было проведено 5 отсчетов времени 20-ти полных колебаний Результаты представлены в графе 2 таблицы 2.

Таблица 2.

Номер измерения			(с)		( ) (с)
1	27,89		0,21		0,044
2	28,02		0,08		0,006
3	28,07		0,03		0,001
4	28,17		-0,07		0,005
5	28,33		-0,23		0,053
28,096 ≈ 28,1(с)				= 0,109 ≈ 0,1

Среднее значение времени 20^-ти полных колебаний математического маятника <t> определялось по формуле (1):

(с)

Случайная ошибка измерения времени 20^-ти полных колебаний математического маятника определялась по формуле (2):

(с)

где =2,8

Приборная ошибка при измерениях определяется по формуле (3):

(с)

где =2,0

f = 0,1 сек

Полная ошибка при измерении определялась по формуле (4):

(с)

Таким образом, полученный результат:

28,1 ± 0,2 (с)

Этап 3: определение периода колебаний T математического маятника (косвенное измерение)

Период колебаний математического маятника определялся по формуле (6):

= (с)

Определение погрешности (ошибки) измерения периода колебаний математического маятника (косвенные измерения) проводится по формуле (7):

(с)

Таким образом, полученный результат:

Т=1,41±0,01 (с)

Этап 4: определение ускорения свободного падения в поле сил тяжести Земли на широте г. Ижевска (косвенное измерение)

Измерение ускорения свободного падения в поле тяжести Земли (косвенное измерение) проводится по формуле (8):

Определение ошибки измерения ускорения свободного падения (косвенное измерение) проводится по формуле (9):

Таким образом полученный результат:

g=9,9±0,1 (м/с²)

Подведение итогов выполнения лабораторной работы

В результате проведения лабораторной работы были:

1. Изучены законы колебательного движения математического маятника:

2. Проведены измерения (прямые) длины подвеса математического маятника, времени 20^-ти полных колебаний математического маятника.

3. Проведены измерения (косвенные) периода колебания математического маятника, ускорения свободного падения на широте г.Ижевска.

4. Полученное значение ускорения свободного падения составило:

g=9,9±0,1 (м/с²)

g = 978,049 ∙ (1+0,005288 ∙ sin φ – 0,000006 ∙ sin² 2φ) – 0,0003086 П ,

(см/с²)

где φ – широта места;

П – высота над уровнем моря

(Физический энциклопедический словарь / Гл. ред. А.М. Прохоров, ред. кол. Д.М. Алексеев, А.М. Бонч-Бруевич, А.С. Боровик-Романов и др. – М.: Сов. энциклопедия, 1984. – 944 с.)

Для г. Ижевска φ = 150 м , П = 57^о

g = 978,049 ∙ (1+0,005288 ∙ 0,838671 – 0,000006 ∙ 0,834565) – 0,0003086 ∙ 150 = 981,961 – 0,463 = 981,498(см/с²) ≈ 9,815 (м/с²)