Устойчивость линейных систем управления 2

«Устойчивость линейных систем управления»

Цель работы: исследование устойчивости непрерывных линейных систем управления.

Структурная схема исследуемых систем приведена на рис.

1.Записать передаточную функцию разомкнутой системы

2.Записать передаточную функцию замкнутой системы по выходу объекта управления

3.Записать передаточную функцию замкнутой системы по ошибке

4.Записать характеристическое уравнение разомкнутой системы

5.Записать характеристическое уравнение замкнутой системы по выходу объекта управления

6.Записать частотные передаточные функции системы разомкнутой. Выделить вещественную и мнимую части.

7.Записать частотные передаточные функции замкнутой системы по выходу объекта управления

8.Выделить вещественную и мнимую части.

9.Записать частотные передаточные функции системы замкнутой системы по ошибке. Выделить вещественную и мнимую части.

10.Построить для каждой из систем АФЧХ, АЧХ, ФЧХ, ЛЧХ, ЛФЧХ

11. Построить переходную характеристику замкнутой системы

12.Построить годограф Михайлова замкнутой системы.

13.Оценить устойчивость системы по критерию Найквиста

14.Оценить устойчивость системы по критерию Михайлова

15.Оценить качество системы в установившемся режиме

15.1.Анализируется передаточная функция замкнутой системы по ошибке

15.2.Построить переходную функцию сигнала по ошибке

15.3.Оценить точность отработки системой линейно-нарастающего входного сигнала (y=5t)

15.4.Оценить реакцию системы на гармонический входной сигнал

Y0=5sin5t

15.5.Оценить амплитудно-фазовые искажения расчетным спосбом

15.6.Оценки АФИ по ЛЧХ замкнутой системы

15.7.Сравнить оценки АФИ

16.Оценить качество системы в переходном режиме

16.1.Оценить прямые показатели качества (перерегулирование и время регулирования)

16.2.Оценить запас устойчивости

16.3.Оценить показатель колебательности

16.4.Оценить полосу пропускания

16.5.Оценить частоту среза

16.6.Оценить резонансную частоту

17.Построить вещественную часть частотной характеристики замкнутой системы

17.1Оценить прямые показатели качества по частотной характеристике

Временные и частотные характеристики системы

Переходная характеристика системы – график реакции системы на единичный ступенчатый сигнал. Это временная характеристика системы.

К частотным характеристикам системы относят следующие:

•амплитудно-фазо-частотная характеристика (АФЧХ) – это график, изображающий на комплексной плоскости изменение вещественной U и мнимой V частей частотной передаточной функции W(jω)=U(ω)+jV(ω) при изменении ω, причем ω=0…∞(рад/с);

•амплитудно-частотная характеристика(АЧХ) разомкнутой или замкнутой системы– это графическое изображение соответствующей зависимости A(ω)=|W(jω)| при ω=0…∞(рад/с);

•логарифмическая амплитудно-частотная характеристика(ЛАЧХ) разомк-нутой или замкнутой системы– это график зависимости

L(ω)=20lg(A(ω))

•логарифмическая фазо-частотная характеристика(ЛФЧХ) разомкнутой или замкнутой системы – это график соответствующей зависимости φ(ω)=arg(W(jω))=arctg(V(ω)/U(ω))

Устойчивость системы

Устойчивость системы управления – необходимое условие ее работоспособности. В устойчивой линейной системе свободная составляющая реакции системы с течением времени затухает. Поэтому только устойчивая система воспроизводит задающее воздействие.

Признаком нахождения линейной системы на колебательной границе устойчивости является периодическое изменение управляемой величины. Это используется для определения критических (граничных) значений параметров.

Суждение об устойчивости системы по расположению нулей и полюсов.

Полюса системы– это корни характеристического уравнения замкнутой системы.

Характеристическое уравнение замкнутой системы (ХУ ЗС) –

знаменатель любой передаточной функции замкнутой системы, приравненный к нулю. Учитывая, что знаменатели всех передаточных функций замкнутой системы одинаковы и имеют вид 1+Wр(s), то ХУ ЗС имеет вид 1+Wр(s)=0

Если хотя бы один полюс замкнутой системы имеет положительную вещественную часть (правый полюс), то система неустойчива. Если все полюса имеют отрицательными вещественными частями, то система устойчива. Если имеются полюса с нулевой вещественной частью, то система на границе устойчивости.

Если среди полюсов замкнутой системы имеются комплексносопряженные полюса, то переходный процесс в системе будет колебательным, и перерегулирование

будет тем выше, чем ближе эти корни расположены к мнимой оси комплексной плоскости.

Критерий устойчивости Михайлова

Данный критерий основан на связи характера переходного процесса системы с амплитудой и фазой вынужденных колебаний, устанавливающихся в системе при синусоидальном воздействии.

Анализ устойчивости системы этим методом сводится к построению по характеристическому многочлену замкнутой системы

R(ω) по горизонтальной, а S(ω) по вертикальной осям декартовой системы координат, то будет получена кривая, называемая годографом характеристического вектора, или годографом Михайлова. В таком случае критерий устойчивости Михайлова может быть сформулирован следующим образом: замкнутая САУ устойчива, если комплексная частотная функция F(jω), начинаясь на действительной положительной оси, при изменении частоты ω от 0 до ∞ огибает против часовой стрелки начало координат, проходя последовательно n квадрантов, где n– порядок характеристического уравнения системы, т. е. argF(jω)=n*π/2.

Оценка устойчивости системы по логарифмическому критерию Найквиста

Для суждения об устойчивости замкнутой системы по данному критерию, не-обходимо построить ЛЧХ разомкнутой системы.

Если в характеристическом уравнении разомкнутой системы ХУ РС(ХУ РС– знаменатель передаточной функции разомкнутой системы, приравненный к нулю) нет правых корней, то для того чтобы данная система была устойчива в замкну-том состоянии необходимо и достаточно, чтобы ωср <ωкр, где ωср – частота среза (точка пересечения ЛАЧХ с осью частот), ωкр– критическая частота(точка пе-ресеченияЛФЧХ с прямой φ(ω) = –π).

Если в характеристическом уравнении разомкнутой системы есть l правыхкорней, то разность между числом положительных и отрицательных переходов (пересечений ЛФЧХ и прямой φ(ω) = = –π на участке положительности ЛАЧХ) должна равняться l/2.

Показатели качества системы

Показатели качества системы в переходном режиме.

1. Запасы устойчивости Если система устойчива, то степень удаленности системы от границы

устойчивости на плоскости ЛЧХ разомкнутой системы можно оценить

величинами запасов Lзап=L(ωкр), φзап=π+ φ (ωср)

где ωср– частота, при которой L(ω)=0; ωкр – частота, при которой φ(ω) =

– π.

2. Критический коэффициент усиления разомкнутой системы

kкр– такое значение коэффициента усиления разомкнутой системы kр, при котором система находится на границе устойчивости.

Так как kр входит в один или несколько коэффициентов характеристического уравнения, то его критическое значение можно найти используя любой критерий устойчивости. Например, по критерию Гурвица можно найти kкр как решение уравнения Δn-1(kр) = 0, что будет означать, что среди корней характеристического уравнения системы есть пара чисто мнимых корней.

3. Прямые показатели(время регулирования, перерегулирование)

определяются по переходной характеристике системы: tр – время регулирования – минимальное время, по истечении которого регулируемая величина будет оставаться близкой к установившемуся значению с заданной точностью Δ(точность задается величиной, выбираемой из диапазона Δ=0,01…0,05); σ– перерегулирование– максимальное отклонение переходной характеристики от установившегося значения, определяемое выражением

hmax hуст

hуст

Оценки прямых показателей качества:

а) по величине частоты среза разомкнутой системы

t p 4п п

ωп – частота положительности ВАХ

4. Частота среза, частота амплитудного резонанса, полоса пропускания.

Для определения этих показателей качества требуется построить АЧХ замкнутой системы, т.е. график функции Aз(ω), тогда

а) частота амплитудного резонанса ωар – частота, на которой наблюдаетсямаксимум АЧХ;

б) показатель колебательности М=N(ωар )/N(0);

в) полоса пропускания системы 0… ωп, где N(ωп)=1/√2≈0.707 5. Амплитудно-фазовые искажения

определяются при воспроизведении системой гармонического задающего воздействия. В устойчивой системе при подаче на ее вход гармонического сигнала после окончания переходного процесса все ее переменные изменяются по гармоническому закону с частотой входного сигнала.

Амплитудно-фазовые искажения можно определить по временным и частотным характеристикам замкнутой системы.

По графику переходной характеристики системы амплитудные искажения (безразмерная величина) – отношение установившегося значения амплитуды выходного сигнала к амплитуде входного сигнала, а фазовые искажения определяются величиной Δt (отставанием по времени выходного сигнала относительно входного), причем Δφ=2πΔt.

По частотным характеристикам замкнутой системы амплитудные искажения определяются как ордината АЧХ, а фазовые искажения – как ордината ФЧХ. Подобным образом можно определить амплитуднофазовые искажения и по ЛЧХ замкнутой системы.