Вопрос 1.

Случайное событие. Определение вероятности (статистическое и классическое).

Случайное событие – это любой факт, который в результате испытания может произойти или не произойти. Случайное событие – это результат испытания(это числовая мера объективной возможности наступления события)

Классическое определение вероятности события А:

Р(А)=m/n

Вероятность события А равно отношению числа случаев, благоприятствующих событию А (m), к общему числу случаев (n).

Статистическое определение вероятности:

Вероятностью случайного события называют предел, к которому стремится частота при неограниченном увеличении числа испытаний.

P(A) =lim*m/n

Вопрос 2.

Понятие о совместных и несовместных событиях, зависимых и независимых событиях.

Совместные события - если появление одного события не исключает появление другого.

Если А и В совместные события, то их сумма А+В обозначает наступление события А или события В, или обоих событий вместе.

Несовместные события – это события, одновременное осуществление которых невозможно, т. е. появление одного исключает появление другого.

Если А и В несовместные события, то их сумма А+В обозначает наступление или события А или события В.

Вероятность суммы несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий:

P(A+B)=P(A)+(B)

Вероятность суммы совместимых событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

P(A+B)=P(A)+(B)-P(AB)

Событие В называется независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности появления события В.

Вероятность появления нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Для зависимых событий:

P(AB)=P(A)*P(B/A)

Вопрос 3.

Теоремы сложения и умножения вероятностей:

Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А или В.

Теорема сложения вероятностей: вероятность появления одного (безразлично какого) события из нескольких несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

В случае, когда события А и В совместны, вер-ть их суммы выражается формулой

Р (А +В) = Р (А) + Р (В) – Р (АВ),

где АВ – произведение событий А и В.

Теорема умножения вероятностей

Вероятность произведения двух событий равна вер-ти одного из них, умноженной на условную вероятность другого при наличии первого:

Р (АВ) = Р(А) · Р(В/А), или Р (АВ) = Р(В) · Р(А/В).

Следствие. Вероятность совместного наступления двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий:

Р (АВ) = Р(А) · Р(В).

Следствие. При производимых n одинаковых независимых испытаниях, в каждом из которых события А появляется с вероятностью р, вероятность появления события А хотя бы один раз равна 1 - (1 - р)n

Вопрос 4.

Распределение дискретных и непрерывных случайных величин, их характеристики: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отношение.

Случайная величина – это величина, которая в результате испытания в зависимости от случая принимает одно из возможного множества своих значений

Дискретная случайная величина – это случайная величина, когда принимает отдельное изолированное, счётное множество значений.

Непрерывная случайная величина – это случайная величина, принимающая любые значения из некоторого интервала.

Для дискретной случайной величины закон распределения задан в виде таблицы, аналитически (в виде формулы) и графически.

Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех её значений на соответствующие им вероятности: M(X) =

Дисперсия D(x) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания.

Дисперсия означает «рассеяние»

D(x) = M(X-M(X))

Среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение или стандарт) случайной величины Х – это арифметическое значение корня квадратного из её дисперсии:

Формула: