[Править]Доказательство

Так как в результате   независимых испытаний, проведенных в одинаковых условиях, событие   наступает с вероятностью  , следовательно противоположное ему событие с вероятностью  .

Обозначим   — наступление события   в испытании с номером  . Так как условия проведения опытов одинаковые, то эти вероятности равны. Пусть в результате   опытов событие   наступает   раз, тогда остальные  раз это событие не наступает. Событие   может появиться   раз в   испытаниях в различных комбинациях, число которых равноколичеству сочетаний из   элементов по  . Это количество сочетаний находится по формуле:

.

При этом вероятность каждой комбинации равна произведению вероятностей:

.

Применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий, получим окончательную Формулу Бернулли:

, где  .

11. Теорема Пуассона. Функция Лапласа. Интегральная формула Муавра-Лапласа.

Теорема Пуассона.Пусть есть   Пусть также дана последовательность   такая, что

Тогда

Функция Лапласа

Интегральная теорема Муавра—Лапласа

   Пусть 0<p<1, тогда для схемы Бернулли при n  для любых a и bсправедлива формула  .

Это означает, что для вычисления вероятности того, что число успехов в n испытаниях Бернулли заключено между k₁ и k₂, можно использовать формулу  , где  — функция Лапласа,  ,  .

Точность этой приближенной формулы растет с ростом n.

12. Дискретные и не прерывные случайные величины, их числовые характеристики.

Случайная величина  называется дискретной случайной величиной, если она принимает не более чем счетное число значений. Задание дискретной случайной величины по определению равносильно заданию закона распределения случайной величины в следующем виде:

    

где 

Пример.  дискретная случайная величина Бернулли(закон распределения Бернулли). Закон распределения дискретной случайной величины Бернулли имеет следующий вид: 0<p<1

Такому распределению соответствует бросание монеты, на одной стороне которой - 0, а на второй - 1.

Распределение случайной величины  называется непрерывным, а сама случайная величина - непрерывной случайной величиной, если для любого

,

где   - интегрируемая по Лебегу функция. Функция   называется плотностью распределения случайной величины  .

     Теорема 1: Для того чтобы случайная величина   была непрерывной случайной величиной, необходимо и достаточно, чтобы для любого

     

Пример. нормальная непрерывная случайная величина, или непрерывная случайная величина Гаусса(нормальное распределение). Непрерывная случайная величина   имеет нормальное (гауссовское) распределение, если её плотность распределения имеет вид

     Если  , то распределение называется стандартным нормальным распределением.

13. Статически зависимые и не зависимые случайные величины. Примеры.

Зависимые и независимые случайные величины

Случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того какое значение принимает другая случайная величина.

Понятие зависимости случайных величин является очень важным в теории вероятностей.

Условные распределения независимых случайных величин равны их безусловным распределениям.

Определим необходимые и достаточные условия независимости случайных величин.

 

Теорема. Для того, чтобы случайные величины Х и Y были независимы, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы (X, Y) была равна произведению функций распределения составляющих.

            Аналогичную теорему можно сформулировать и для плотности распределения:

 

Теорема. Для того, чтобы случайные величины Х и Y были независимы, необходимо и достаточно, чтобы плотность совместного  распределения системы (X, Y) была равна произведению плотностей распределения составляющих.

14. Закон распределения дискретной случайной величины. Что показывает таблица. Пример: биноминальная случайная величина.

     Определение.  Соотношение между возможными значениями случайной величины и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины.

            Закон распределения может быть задан аналитически, в виде таблицы или графически.

            Таблица соответствия значений случайной величины и их вероятностей называется рядом распределения.

            Графическое представление этой таблицы называется многоугольником распределения.  При этом сумма все ординат многоугольника распределения представляет собой вероятность всех возможных значений случайной величины, а, следовательно, равна единице.

Случайная величина В = X₁ + X₂ +…+ X_k называется биномиальной. Ясно, что 0<B<k при всех возможных исходах опытов. Чтобы найти распределение В, т.е. вероятности Р(В = а) при а = 0, 1, …, k, достаточно знать р– вероятность наступления рассматриваемого события в каждом из опытов

15.Числовые характеристики дискретной случайной величины: математическое ожидание, дисперся. СКО. Доказать формулы для биноминальной случайной величины.

Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако, когда невозможно найти закон распределения, или этого не требуется, можно ограничиться нахождением значений, называемых числовыми характеристиками случайной величины. Эти величины определяют некоторое среднее значение, вокруг которого группируются значения случайной величины, и степень их разбросанности вокруг этого среднего значения.

 

            Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности.

            Математическое ожидание существует, если ряд, стоящий в правой части равенства, сходится абсолютно.

            С точки зрения вероятности можно сказать, что математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса данной случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания. Обозначается 

Пусть   — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда

16. Закон распределения непрерывной случайной величины. Плотность вероятностей. Функция распределения. Формулы для вычисления числовых характеристик непрерывной случайной величины.

Случайная величина   называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) непрерывна на всей числовой оси.

Для непрерывной случайной величины   при любом   имеет место равенство

а также

где F(x) функция распределения величины   .

Пусть f(x) - неотрицательная интегрируемая функция, определенная на всей числовой оси и удовлетворяющая условию

Тогда функция

обладает всеми свойствами функции распределения. Кроме того, F(x) непрерывна в любой точке (и слева, и справа). Следовательно, случайная величина   , определяемая функцией распределения F(x), является непрерывной.

Мы говорим, что случайная величина   с функцией распределения F(x) раcпределена сплотностью, если существует неотрицательная функция f(x), такая, что для любого  имеет место равенство (2). При этом f(x) называется плотностью вероятности случайной величины   , а ее график – кривой распределения.

Из определения плотности вероятности f(x) и свойств функции распределения следует, что f(x) должна удовлетворять условию (1). И обратно, если   и выполняется условие (1), то f(x) является плотностью вероятности.

Если случайная величина   имеет плотность вероятности f(x) , то имеет место формула

17. Нормальный закон распределения. Свойства. Правило трех сигм.

Нормальный закон распределения характеризуется частотой отказов a (t) или плотностью вероятности отказов f (t) вида:

,       (5.36)

где σ– среднеквадратическое отклонение СВ x;

mx – математическое ожидание СВ x. Этот параметр часто называют центром рассеивания или наиболее вероятным значением СВ Х.

x – случайная величина, за которую можно принять время, значение тока, значение электрического напряжения и других аргументов.

Нормальный закон – это двухпараметрический закон, для записи которого нужно знать mx и σ.

Вероятность безотказной работы при данном законе распределения определяется по формуле:

.  (5.37)

Интенсивность отказов можно определить по следующей формуле: