![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Определение булевой функции
- •Способы задания булевых функций
- •Формулы. Реализация функций формулами
- •Понятие суперпозиции
- •Эквивалентность формул. Основные тавтологии алгебры логики
- •Принцип двойственности
- •Разложение булевых функций по переменным. Совершенные
- •Полнота и замкнутость. Примеры функционально полных систем
- •Представление булевых функций полиномом Жегалкина
- •Класс функций, сохраняющий константу 0
- •Класс функций, сохраняющий константу 1
- •Класс самодвойственных функций
- •Класс линейных функций
- •Теорема Поста о полноте
- •Понятие днф. Проблема минимизации булевых функций
- •Геометрическая интерпретация задачи минимизации булевых функций
- •Определение тупиковой днф
- •Построение тупиковых днф методом упрощения совершенной днф
- •Определение сокращенной днф и геометрический метод ее построения
- •19.Минимизация булевых функций на основе построения тупиковых д. Н. Ф.
- •20. Минимизация булевых функций методом карт Карно.
- •21.Минимизация булевых функций методом Квайна-Мак-Класски
- •23.Задачи анализа и синтеза схем из функциональных элементов. Элементарные методы синтеза.
- •Элементарные методы синтеза
- •26 Синтез схем дешифратора и двоичного сумматора
- •28. Определение конечного автомата
- •Способы задания конечного автомата
- •29. Задача синтеза автоматов
- •Элементарные автоматы
- •Машина Тьюринга
- •Что собой представляет машина Тьюринга?
- •Пример работы машины Тьюринга
Класс функций, сохраняющий константу 0
Обозначим
через
класс всех булевых функций
из
,
сохраняющих константу 0, то есть функций,
которые равны нулю на нулевом наборе
переменных:
.
Заметим,
что если
,
а
,
то и
.
Легко
убедиться, что функции 0,
,
,
,
принадлежат классу
,
а функции 1,
,
,
не входят в
.
Поскольку
таблица для функции
из класса
в первой строке содержит значение 0, то
в
содержится ровно
булевых функций от
переменных.
Покажем, что – замкнутый класс. Для этого надо доказать следующее утверждение.
Лемма 1. Суперпозиция функций из класса является функцией класса .
Для доказательства необходимо убедиться, что применение операций и к функциям, сохраняющим 0, всякий раз дает функцию, сохраняющую 0.
В
результате операции
для функции
имеем формулу
,
которая при нулевых значениях своих
аргументов совпадает с
.
Теперь
покажем, что функция
,
полученная в результате применения
операции
,
принадлежит
,
если
принадлежат
:
.
Лемма доказана.
Пример
1.
Функции
и
входят в
,
поэтому суперпозиция этих функций будет
сохранять 0. Следовательно, система
неполная.
Класс функций, сохраняющий константу 1
Обозначим
через
класс всех булевых функций
из
,
сохраняющих константу 1, то есть функций,
которые равны 1 на единичном наборе
переменных:
.
Например, функции 1, , , принадлежат классу , а функции 0, , не входят в .
В
силу того, что класс
двойствен классу
,
нетрудно перенести результаты о классе
на класс
.
Так, если
,
а
,
то и
.
Класс
содержит
булевых функций от
переменных и является замкнутым классом,
то есть суперпозиция функций из класса
является функцией класса
.
Класс монотонных функций
Рассмотрим множество двоичных слов длины . Зададим на этом множестве отношение порядка (предшествования) следующим образом: будем говорить, что слово
предшествует слову
,
если
.
Тот
факт, что слово
предшествует слову
будем обозначать
.
Отношение предшествования удовлетворяет аксиомам рефлексивности, антисимметричности и транзитивности.
Например,
00
10
11,
0010
0111
1111.
Слова 01 и 10 не находятся в отношении предшествования. Такие слова называются несравнимыми.
Отношение
“
”
можно представить в виде ориентированного
графа. Для
имеем следующий граф:
111
Рис. 1. Представление отношения предшествования в виде ориентированного графа
Слово предшествует слову , если от к можно пройти по стрелкам.
Функция называется монотонной, если для любых наборов переменных и выполняется условие
,
то есть значение функции на меньшем наборе не превосходит значения функции на большем наборе.
Очевидно, что функция, равная монотонной функции, также является монотонной.
Например, монотонными функциями будут 0, 1, , , .
Обозначим через множество всех монотонных функций. Покажем, что класс монотонных функций замкнут.
Лемма 3. Суперпозиция функций из класса является функцией класса .
Доказательство. Доказательство леммы проведем на примере конкретной суперпозиции, рассуждение для общего случая будет аналогичным.
Пусть
,
где
.
Покажем, что
.
Рассмотрим два сравнимых набора значений
аргументов функции
:
.
Тогда
,
и в силу монотонности
имеет место неравенство
.
Отсюда
и в силу монотонности
имеет место неравенство
.
В результате имеем
Таким образом, . Лемма доказана.
Будем называть наборы и соседними по -ой координате , если
,
.
Докажем теперь лемму о немонотонной функции.
Лемма
4. Из немонотонной функции
путем подстановки констант на места
некоторых
аргументов можно получить отрицание.
Доказательство.
Пусть
.
Это значит, что
.
Покажем,
что для функции
найдется пара соседних наборов, для
которых нарушается условие монотонности.
Очевидно, пару соседних наборов
и
,
для которых
,
всегда можно связать цепочкой соседних
наборов. Возьмем пару соседних наборов
,
,
для которых
,
.
Рассмотрим функцию одного аргумента
.
Имеем
.
Так
как
,
а
,
то
.
Лемма доказана.
10