- •Определение булевой функции
- •Способы задания булевых функций
- •Формулы. Реализация функций формулами
- •Понятие суперпозиции
- •Эквивалентность формул. Основные тавтологии алгебры логики
- •Принцип двойственности
- •Разложение булевых функций по переменным. Совершенные
- •Полнота и замкнутость. Примеры функционально полных систем
- •Представление булевых функций полиномом Жегалкина
- •Класс функций, сохраняющий константу 0
- •Класс функций, сохраняющий константу 1
- •Класс самодвойственных функций
- •Класс линейных функций
- •Теорема Поста о полноте
- •Понятие днф. Проблема минимизации булевых функций
- •Геометрическая интерпретация задачи минимизации булевых функций
- •Определение тупиковой днф
- •Построение тупиковых днф методом упрощения совершенной днф
- •Определение сокращенной днф и геометрический метод ее построения
- •19.Минимизация булевых функций на основе построения тупиковых д. Н. Ф.
- •20. Минимизация булевых функций методом карт Карно.
- •21.Минимизация булевых функций методом Квайна-Мак-Класски
- •23.Задачи анализа и синтеза схем из функциональных элементов. Элементарные методы синтеза.
- •Элементарные методы синтеза
- •26 Синтез схем дешифратора и двоичного сумматора
- •28. Определение конечного автомата
- •Способы задания конечного автомата
- •29. Задача синтеза автоматов
- •Элементарные автоматы
- •Машина Тьюринга
- •Что собой представляет машина Тьюринга?
- •Пример работы машины Тьюринга
Принцип двойственности
Функция , равная , называется двойственной функцией к функции .
Очевидно, что таблица истинности для двойственной функции получается из таблицы истинности для функции инвертированием (т. е. заменой 0 на 1 и 1 на 0) значений переменных и функции. Например, .
Легко установить для функций 0, 1, , , , , что
функция 0 двойственна 1;
функция 1 двойственна 0;
функция двойственна ;
функция двойственна ;
функция двойственна ;
функция двойственна.
Из определения двойственности следует, что
,
т. е. функция является двойственной к (свойство взаимности).
Принцип двойственности. Если формула реализует функцию , то формула , т. е. формула, полученная из заменой функций соответственно на , реализует функцию .
Формулу будем называть формулой, двойственной к .
Для доказательства этого утверждения необходимо проверить его справедливость для элементарных шагов суперпозиции и .
Пусть, например, функция получается из функции в результате следующей подстановки переменных :
.
Тогда
т. е. функция получается из в результате той же самой подстановки переменных.
Доказательство справедливости принципа двойственности для шага проведем на примере. Пусть
.
Тогда
т. е. функция получается из и так же, как функция из и .
Принцип двойственности позволяет упростить вывод основных тавтологий и имеет целый ряд полезных применений, которые будут рассмотрены далее.
Пример 2. Построение формулы для отрицания функции.
Из определения двойственной функции следует
.
Получаем следующее правило: пусть формула реализует функцию . Чтобы получить формулу для функции нужно в формуле заменить все переменные на их отрицания.
Найдем отрицание для функции .
Так как , то .
6
Разложение булевых функций по переменным. Совершенные
дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные формы
Введем обозначение
,
где – параметр, равный либо 0, либо 1. Очевидно, что
Легко видеть, что 1 тогда и только тогда, когда .
Теорема о разложении функций по переменным. Каждую функцию алгебры логики при любом ( ) можно представить в следующей форме:
, (1)
где дизъюнкция берется по всевозможным наборам значений переменных .
Это представление называется разложением функции по переменным .
Доказательство. Рассмотрим произвольный набор значений переменных и покажем, что левая и правая части соотношения (1) принимают на нем одно и то же значение. Левая часть дает . Правая –
В качестве следствий из теоремы рассмотрим два специальных случая разложения.
Разложение по переменной:
.
Функции и называются компонентами разложения. Данное разложение полезно, когда какие-либо свойства устанавливаются по индукции.
Разложение по всем переменным:
.
При тождественно не равной 0 оно может быть преобразовано:
.
В результате окончательно получим
. (2)
Такое разложение называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (совершенной д. н. ф.).
Непосредственно к понятию совершенной д. н. ф. примыкает следующая теорема.
Теорема. Каждая функция алгебры логики может быть представлена формулой в базисе .
Доказательство.1) Пусть . Тогда, очевидно,
.
Пусть тождественно не равна 0. Тогда ее можно представить формулой (2).
Данная теорема носит конструктивный характер, так как она позволяет для каждой функции построить реализующую ее формулу в виде совершенной д. н. ф. Для этого в таблице истинности для каждой для функции отмечаем все строки , в которых . Для каждой такой строки образуем логическое произведение , а затем все полученные конъюнции соединим знаком дизъюнкции.
Пример 3. Найти совершенную д. н. ф. для функции .
|
|
0 0 |
1 |
0 1 |
1 |
1 0 |
0 |
1 1 |
1 |
Совершенная д. н. ф. есть выражение типа П. Покажем, что при тождественно не равной 1 ее можно представить в виде . Запишем для двойственной функции (очевидно не равной тождественно 0) разложение в виде совершенной д. н. ф.:
.
Из принципа двойственности следует
.
Таким образом, получаем разложение, которое называется совершенной конъюнктивной нормальной формой (совершенной к. н. ф.):
. (3)
Пример 4. Построить совершенную к. н. ф. для функции .
Имеем .
7