благоприятствуют те распределения, при которых в каких-либо n ячейках находится ровно по одной частице. Порядок n ячеек не имеет значения, так как частицы неразличимы. Поэтому

Эйнштейна.

Пример 12. (Статистики Ферми-Дирака.)

Как и раньше, имеется N различимых ячеек и n ≤ N неразличимых частиц. Согласно физической модели Ферми-Дирака, в каждой ячейке может находиться не более одной частицы т.е. или 0, или 1 частица. При этом все такие распределения n частиц по N ячейкам объявляются равновозможными. Найти вероятность того, что: 1)частицы будут находиться в определенных n ячейках; 2)частицы будут находиться в каких-либо n ячейках.

Решение. Событие A – частицы находятся в определенных n ячейках. Событие B – частицы находятся в каких-либо n ячейках. Элементарным событием объявляется любое распределение n неразличимых частиц по N ячейкам, при котором в каждой ячейке находится не более одной частицы. Очевидно, число таких распределений | Ω |= CnN , множество этих распределений образует полную группу и, согласно физической модели Ферми-Дирака, все они

равновозможны. Далее очевидно, что |A|=1, поэтому P(A) = 1 ; поэтому

CnN

Cn P(B) = N =1.

CnN

Итак, мы видим, что вероятности меняются в зависимости от выбора физической модели.

Замечание. В литературе зачастую применяются следующие обозначения: множество всех элементарных исходов Ω = n ; множество элементарных исходов, благоприятствующих событию A, A = m .

Геометрическое определение вероятности

Пусть G – борелевское множество в R n , n ≥1, для которого 0 < mesG < ∞ , подобласть

D G, D – борелевское множество. Рассматривается следующий эксперимент: наудачу

берется точка из G (другой вариант: наудачу бросается точка на G). При этом точка может случайным образом попасть в D. Геометрическое определение вероятности утверждает, что вероятность попадания точки в D выражается равенством

P(D) = mesD . mesG

Здесь D = G – достоверное событие, D = – невозможное событие. Очевидно 0 ≤ P(D) ≤ 1.

В отличие от классического определения вероятности из того, что P(D)=1, не следует, что D = G, т.е. что D – достоверное событие. Действительно, пусть D совпадает с G без одной точки. Тогда D не является достоверным событием, хотя P(D) = 1. Аналогично, из того, что

P(D) = 0, не следует, что D = , т.е. что D – невозможное событие. Например, если D состоит из одной точки, то mesD = 0 , P(D) = 0, но D не является невозможным событием. Будем обозначать противоположное событие G\D через D . Как и при классическом определении вероятности P(D) =1 - P(D).

Пример 1. В круг радиуса R наудачу бросается точка. Какова вероятность, что взятая точка окажется от центра круга на расстоянии, большем, чем R/2?

Решение. Эксперимент состоит во взятии наугад точки в круге радиуса R. Значит, G совпадает с множеством точек круга радиуса R. Элементарным событием является точка круга радиуса R, mesG =πR 2 , 0 < рR 2 < ∞. D – множество точек круга G, отстоящих от центра круга

Рис.1

заключенной между прямыми y = x ± 13 (см. рис.2). Мера D равняется площади квадрата минус сумма площадей двух треугольников, отсекаемых от квадрата указанными прямыми. Соединив

Пример 5. (Задача Бюффона.) Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 2а. На плоскость наудачу бросается игла длины 2l ,

(l < a) . Найти вероятность того, что игла пересечет какую-нибудь прямую.

Решение. Обозначим через ϕ угол, который игла образует с параллельными прямыми

(0 ≤ ϕ < π) , через x − расстояние от середины упавшей иглы до ближайшей к ней параллельной прямой, 0 ≤ x ≤ a (см. рис. 3). Множество точек (ϕ, x)образует прямоугольник G декартовой плоскости (см. рис.4), mesG = aπ . Эксперимент, состоящий в бросании наудачу иглы на плоскость, отождествляется с экспериментом, состоящим во взятии точки (ϕ, x) из области G.

Игла пересечется с одной из параллельных прямых тогда и только тогда, когда будет выполняться неравенство x ≤ l sin ϕ. Последнее неравенство задает область D G,

Мы этот эксперимент отождествим с экспериментом, состоящим во взятии точки из области G. Полученные три отрезка имеют длины x, y, l −(x + y) . Из этих отрезков можно составить треугольник тогда и только тогда, когда выполняются условия