ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Элементы комбинаторики Правило умножения

Пусть множество A1 содержит n1 элементов, A2 − n2 элементов,…, Ak − nk элементов. Тогда A1×A2×…×Ak содержит n1 n2 Knk различных элементов.

Другая интерпретация этого правила такова. Пусть первое действие можно совершить n1

различными способами, второе − n2 различными способами,…, k-е − nk различными

способами. Тогда все k действий можно совершить n1 n2 Lnk различными способами.

Пример 1. Пусть из пункта A в пункт B имеется 5 дорог, а из пункта B в пункт C – 6

дорог.

1)Сколько существует различных вариантов проезда из пункта A в пункт C?

2)Сколько существует различных вариантов проезда из пункта A в пункт B и обратно?

3)Сколько существует различных вариантов проезда из пункта A в пункт B и обратно при условии, что дороги туда и обратно будут разными?

Решение. 1) Существует 5 различных путей из пункта A в пункт B – это 5 способов 1-го действия, при этом существует 6 различных путей из пункта B в пункт C – это 6 различных способов 2-го действия. Согласно правилу умножения, число различных способов выбора пути из пункта A в пункт C равно 5 6 = 30.

2)Из пункта A в пункт B ведет 5 дорог, значит, имеется 5 способов проезда туда и 5 способов проезда обратно. По правилу умножения число всех способов проезда туда и обратно равно 5 5 = 25.

3)Рассуждаем аналогично пункту 2), но учитываем, что дороги туда и обратно не должны совпадать, т.е. при выборе одного из 5-ти способов проезда ‘туда’ обратно можно вернуться одним из 4-х способов. Поэтому число различных способов проехать из пункта A в

пункт B и вернуться обратно, но обязательно другой дорогой, равно 5 4 = 20.

Пример 2. В урне находятся 10 белых, 15 черных и 20 красных шаров. Сколькими различными способами можно взять из урны 3 шара разных цветов?

Решение. В таких задачах предполагается, что все шары различимы, например, перенумерованы. Тройку шаров, взятых из урны, можно образовать тремя действиями.

1-е действие. Возьмем один белый шар. Это действие можно совершить 10-ю способами (по числу различных белых шаров в урне).

2-действие. К выбранному белому шару присоединим черный шар, который можно взять 15-ю различными способами (по числу различных черных шаров в урне).

3-е действие. К выбранной паре присоединим красный шар, который можно взять 20-ю различными способами (по числу красных шаров в урне).

Таким образом, можно образовать различные тройки разноцветных шаров, причем порядок действия при этом не играет роли. Число различных способов выбора троек разноцветных шаров совпадает с числом различных трех действий и по правилу умножения равно 10 15 20 = 3000.

Более сложные примеры будут приведены ниже.

Пример 3. Имеется N различных пронумерованных ячеек и n различных между собой частиц (можно считать, что частицы также пронумерованы). Каждая из n частиц может находиться в любой из N ячеек, при этом в любой ячейке может оказаться любое число частиц. Подсчитать, сколькими различными способами можно разместить n частиц в N ячейках.

Решение. Частицу с номером 1 мы можем поместить в одну из N ячеек N различными способами (по числу ячеек) – 1-е действие; частицу с номером 2 мы также можем поместить в одну из N ячеек N различными способами – 2-е действие; и т.д. Поэтому число различных способов размещения n частиц в N ячейках по правилу умножения будет равно

N N N L N = Nn .

n раз

Правило включения-исключения

+ (−1)n−1 A1 IKIAn .

Пример 1. В лаборатории работают несколько человек, причем каждый из работников знает хотя бы один иностранный язык (английский знают 6 человек, немецкий – 6 человек, французский – 7 человек, английский и немецкий – 4 человека, немецкий и французский – 3 человека, английский и французский – 2 человека, все три языка знает один человек). Сколько человек работает в лаборатории? Сколько сотрудников знают только английский? (Только французский?).

Решение. Обозначим черезA1 – множество сотрудников, знающих английский язык (это не исключает знание другого языка), A2 – множество сотрудников, знающих немецкий язык, A3 – множество сотрудников, знающих французский язык. Тогда A1 IA2 – множество

сотрудников, знающих английский и немецкий языки, A1 IA3 – множество сотрудников,

знающих английский и французский языки, A2 IA3 – множество сотрудников знающих французский и немецкий языки, A1 IA2 IA3 – множество сотрудников, знающих все три языка, A1 UA2 UA3 – множество всех сотрудников, работающих в лаборатории.

По правилу включения-исключения число всех сотрудников, работающих в лаборатории

равно

| A1 UA2 UA3 | =| A1 | + | A2 | + | A3 | −| A1 IA2 | −| A1 IA3 | −| A2 IA3 | + | A1 IA 2 IA3 | . По условию | A1 |= 6; | A2 |= 6; | A3 |= 7; | A1 IA2 |= 4; | A1 IA3 |= 2; | A2 IA3 |= 3;

| A1 IA2 IA3 |=1. Подставляя, получим

| A1 UA2 UA3 |= 6 +6 +7 −4 −2 −3 +1 =11.

Найдем число сотрудников, знающих, наряду с английским, другой язык

| A1 IA2 UA1 IA3 | =| A1 IA2 | +| A1 IA3 | −| A1 IA2 IA 3 |= 4 +2 −1 = 5.

Тогда число сотрудников, знающих только английский язык, равно 6 – 5 = 1. Аналогично, число сотрудников, знающих не только французский язык, равно

| A1 IA3 UA2 IA3 | =| A1 IA3 | +| A2 IA3 | −| A1 IA2 IA3 |= 2 +3 −1 = 4 .

Число сотрудников, знающих только французский язык, равно 7 – 4 = 3.

Пример 2. На загородную прогулку поехали 92 человека. Бутерброды с колбасой взяли 47 человек, с сыром – 38 человек, с ветчиной – 42 человека, с сыром и с колбасой – 28 человек, с колбасой и с ветчиной – 31 человек, с сыром и с ветчиной – 26 человек, все три вида бутербродов взяли 25 человек. Несколько человек вместо бутербродов захватили с собой пирожки. Сколько человек взяли с собой пирожки?

Решение. Обозначим через A1 – множество людей, взявших бутерброды с колбасой, A2

– множество людей, взявших бутерброды с сыром, A3 – множество людей, взявших бутерброды с ветчиной, A 4 – множество людей, взявших только пирожки. По условию

| A1 IA 2 IA3 IA 4 |= 0.

По правилу включения-исключения можно выразить число людей, поехавших на загородную прогулку с помощью формулы:

Таким образом, число людей, взявших с собой пирожки, равно 25.

Сочетания.

Пусть имеется множество из n различных объектов (элементов), т.е. объекты имеют или разные названия или разные номера. Пусть k ≤ n, k N.

Определение. Сочетанием из n элементов по k называется любое подмножество, содержащее k элементов, взятых из данных n элементов. При этом подмножества различаются только элементами, входящими в них; порядок, в котором они расположены, не имеет значения.

Число различных сочетаний из n элементов по k можно найти по формуле:

k = 0 соответствует пустое множество, k = n соответствует множество всех элементов. Пример 1. Из группы в 25 человек нужно выделить 3 человека на дежурство. Сколькими

различными способами это можно сделать?

Решение. Исходное множество различных объектов образуют студенты группы. Число всех элементов множества равно 25 (по числу студентов). Выделенные 3 человека дежурных образуют трехэлементное подмножество из общего числа в 25 элементов (n = 25, k = 3). При этом подмножество определяется только элементами, в него входящими, но неважно, в каком порядке (Иванов, Петров, Сидоров или Сидоров, Иванов, Петров – одно и то же подмножество). Поэтому, по определению имеем сочетание из 25 элементов по 3, и по вышеуказанной формуле число различных способов выбрать трех дежурных из 25 студентов равно

Пример 2. В урне находятся 10 белых, 15 черных, 20 красных шаров. Из урны наудачу берутся 9 шаров. Найти:

1) сколькими различными способами можно вынуть 9 шаров;

2)сколькими различными способами можно взять 9 шаров, среди которых 6 белых и 3

черных;

3)сколькими различными способами можно взять 9 шаров, среди которых 2 белых, 3 черных и 4 красных шара.

Решение. 1)Всего в урне 45 шаров. Считаем, что шары различимы, например, пронумерованы. Следовательно, имеем множество из n = 45 различных объектов. Наудачу взятые 9 шаров образуют подмножество из k = 9 элементов. Это подмножество определяется лишь элементами, попавшими в него, порядок не имеет значения. Следовательно, это сочетание из 45 элементов по 9. Число таких различных подмножеств совпадает с числом различных способов вынуть 9 любых шаров из 45 и равно

2)Взятие 9-ти шаров, из которых 6 белых и 3 черных, можно разбить на два действия: 1-

3)Чтобы получить 9 шаров, из которых 2 белых, 3 черных и 4 красных, надо последовательно выполнить три действия: а)взять 2 белых шара из общего числа 10 белых шаров; б)взять 3 черных шара из общего числа 15 черных шаров; в)взять 4 красных шара из общего числа 20 красных шаров. Тогда число способов взятия 9-ти шаров такого состава совпадет с числом реализаций таких действий, которое по принципу умножения совпадает с числом

C102 C153 C204 = 210!8!! 315!12!! 420!16!! = 45 13 35 17 19 3 5 = 99201375 .

Пример 3. В коробке находятся 50 деталей, из которых 10 бракованных. Из коробки наудачу берутся 5 деталей. Найти число различных способов взятия 5-ти деталей, среди которых ровно 3 бракованных.

Решение. В таких задачах обычно предполагается, что детали пронумерованы, т.е. различны между собой. Множество состоит из n = 50 различимых деталей, из которых 10 бракованных, 40 доброкачественных. Чтобы получить множество из 5-ти деталей, содержащих

3 доброкачественные, надо совершить последовательно 2 действия: 1-е действие – взять 3 бракованные изделия из общего числа 10 бракованных деталей (это действие можно совершить

C103 C402 = 310!7!! 240!38!! = 93 82 101 39240 =120 39 20 =93600 .

Пример 4. Из колоды в 36 карт наудачу берутся 6 карт. 1)Найти число различных способов взятия 6-ти карт. 2)Найти число различных способов взятия 6-ти карт, содержащих i

тузов, i = 0, 4 . 3)Найти число различных способов взятия 6-ти карт, содержащих хотя бы один туз.

Решение. 1)Колода из 36 карт образует множество из n = 36 различных элементов, так как карты различимы между собой. Взятые 6 карт образуют подмножество из k = 6 элементов. Шестерка взятых карт определяется лишь элементами, вошедшими в нее, неважно в каком порядке. Значит, шестерка карт образует сочетание из 36 элементов по 6. Поэтому число различных способов взятия таких шестерок совпадает с числом сочетаний шести элементов из

36, которое находится по формуле C366 = 636!30!! .

2)В колоде из 36 карт 4 туза и 32 другие карты. Чтобы взять 6 карт, содержащих ровно i

тузов, i = 0, 4 , нужно выполнить 2 действия: 1-ое – взять i тузов из общего числа 4-х тузов (это

способов взятия 6-ти карт, содержащих ровно 1 туз, плюс число способов взятия 6-ти карт, содержащих ровно 2 туза, плюс число способов взятия 6-ти карт, содержащих ровно 3 туза, плюс число способов взятия 6-ти карт, содержащих ровно 4 туза. Учитывая предыдущий пункт,