4

получим, что это число равно ∑C4i C326−i =C366 −C326 , т. е. число всех способов взятия 6-ти карт

i=1

минус число различных способов взятия 6-ти карт, не содержащих ни одного туза.

Сочетания с повторениями

Пусть имеется m групп элементов (в каждой группе достаточно много элементов), таких, что элементы внутри группы неразличимы между собой, а элементы разных групп различимы. Из совокупности всех элементов возьмем подмножество, содержащее n элементов. Это подмножество из n элементов определяется числом взятых элементов из 1-ой группы, числом взятых элементов из 2-ой группы, и т.д. Эти числа могут принимать значения от 0 до n, но так, чтобы сумма их равнялась n. Число различных способов образования n-элементного множества находится по так называемой формуле числа различных сочетаний с повторениями

Пример 1. Имеются пирожные 7 различных типов. Пирожные одного и того же типа считаем неразличимыми. Сколько существует различных способов покупки 12 пирожных?

Решение. В нашем случае число групп m = 7. Пирожные, относящиеся к разным типам, различимы, пирожные, относящиеся к одному типу, неразличимы. Рассмотрим множество из n = 12 покупаемых пирожных. Способ образования такого множества определяется числом купленных пирожных 1-го типа, 2-го типа, …, 7-го типа. Числа эти неотрицательные, целые и в сумме дают 12, т.е. мы имеем дело с сочетаниями с повторениями, где m = 7, n = 12. Поэтому число различных способов покупки 12 пирожных находим по формуле:

Cmn+−m1 −1 = C127−+17−1 = C186 = 6!12!18! .

Пример 2. На почте имеются марки 10-ти различных типов. Покупается 15 марок. Сколько существует различных способов покупки 15-ти марок?

Решение. Имеется 10 различных типов марок. Марки различных типов различимы, а марки одного типа неразличимы. Следовательно, имеется m = 10 групп. Купленные 15 марок образуют подмножество из n = 15 элементов. Это подмножество определяется числом купленных марок 1-го типа, 2-го типа, …, 10-го типа. Все эти 10 чисел целые, неотрицательные, их сумма равна 15. Поэтому число купленных марок равно числу сочетаний с повторениями:

Cmn+−m1 −1 = C1015+−110−1 = C924 = 924!15!! .

Размещения

Будем рассматривать множество из n (различимых) элементов. Пусть 0 ≤ k ≤ n – фиксированное число.

Определение. Размещением из n элементов по k называется любое упорядоченное k- элементное подмножество рассматриваемого n-элементного множества.

Таким образом, размещение из n элементов по k определяется элементами, входящими в это подмножество, а также порядком следования этих элементов. Число размещений из n элементов по k находится по формуле

В частном случае, когда k = n, размещение по n элементов из n носит название перестановки из n элементов. Все перестановки содержат одни и те же элементы; разные перестановки отличаются лишь порядком следования этих элементов. Число Pn различных перестановок из n

элементов находится по формуле

Pn = A nn = n!.

Пример 1. Местком состоит из 7 человек. Из своей среды он выбирает президиум в составе трех человек: председателя месткома, заместителя председателя месткома, секретаря месткома. Сколько существует различных способов образования президиума месткома?

Решение. Местком – множество из n = 7 различимых элементов – людей. Президиум – это подмножество из 3-х элементов (k = 3); это подмножество определяется двумя признаками: 1)элементами, попавшими в подмножество, т.е. людьми, попавшими в президиум, 2)порядком следования этих элементов, т.е. тем, кто стал председателем, кто стал заместителем, кто стал секретарем. Таким образом, президиум – это упорядоченное множество трех элементов, т.е. размещение из 7-ми элементов по 3. Поэтому число различных способов образования президиума совпадает с числом различных размещений из 7 элементов по 3 и может быть найдено по формуле

A37 = 74!! = 5 6 7 = 210.

Пример 2. На 9-ти карточках написано по одной цифре от 1 до 9 без повторений. Располагая любые 3 карточки в строку, мы получим трехзначное число. Сколько различных трехзначных чисел можно изобразить при помощи этих 9-ти карточек? Сколько различных пятизначных чисел можно изобразить, используя эти 9 карточек? Сколько различных девятизначных чисел можно изобразить с помощью этих 9-ти карточек?

Решение. Карточки образуют множество из n = 9 различимых элементов (на карточках различные цифры). Для образования трехзначного числа надо взять подмножество из 3-х карточек и упорядочить его. Таким образом, k = 3. Подмножество 3-х карточек определяется элементами, входящими в него, и порядком следования этих элементов. Например, 123, 321, 132, 312, 213, 231. Поэтому любому такому трехзначному числу соответствует размещение из 9-ти элементов по 3. Количество трехзначных чисел, которые можно изобразить при помощи 3- х карточек, совпадает с числом различных размещений из 9-ти элементов по 3 и может быть найдено по формуле

A39 = 96!! = 7 8 9 = 504.

Аналогично, число различных пятизначных чисел которые можно изобразить при помощи этих 9-ти карточек, совпадает с числом размещений из 9-ти элементов по 5, и это число может быть найдено по формуле

A59 = 94!! = 5 6 7 8 9 =15120.

Число различных девятизначных чисел которые можно изобразить при помощи этих 9- ти карточек совпадает с числом перестановок 9-ти элементов. Это число может быть найдено по формуле P9 = 9!= 362880.

Пример 3. На корабле имеется 7 флажков семи основных цветов. Для передачи команды на другой корабль на мачту поднимают k (1 ≤ k ≤7) флажков. Эти флажки располагают по вертикали сверху вниз. Каждому способу расположения k таких флажков соответствует свое слово – своя команда, различным способам расположения k флажков соответствуют разные слова-команды. 1)Сколько существует различных команд, которые можно передать при помощи k флажков? 2)Сколько существует различных команд, которые можно передать этими флажками?

Решение. 1)7 флажков образуют множество из n = 7 различимых элементов (по цвету различимы). Поднятые на мачту k флажков образуют подмножество из k элементов. Это подмножество определяется элементами, вошедшими в него (цветами поднятых флажков), а также их порядком сверху вниз. Поэтому множество из k поднятых флажков является размещением из 7-и элементов по k и, следовательно, число различных команд, которые можно передать при помощи k флажков, равняется числу размещений из 7-и элементов по k, и это

Для примера: k = 5, A57 = 72!! = 2520.

2)Число всех команд, которые можно передать этими флажками, равняется

Пример 4. Из колоды в 36 карт наудачу без возвращения вынимают по одной карте 3 раза. Сколько существует различных способов получения 3-х карт, среди которых на первых двух местах – бубна, а на третьем – пика?

Решение. В колоде 9 бубен и 9 пик. Получение тройки карт “бубна, бубна, пика” можно рассматривать как результат двух действий. Первое действие – получение на первых двух картах “бубна, бубна”. Поскольку порядок следования карт существенен, то число различных способов осуществления первого действия совпадает с числом размещений из 9-ти элементов по 2 (всего 9 бубен) и находится по формуле

A92 = 97!! =8 9 = 72.

Второе действие – взятие пики на 3-м месте. Число способов выполнить 2-е действие, очевидно, равно 9 (по числу “пик”). Поэтому число различных троек карт “бубна, бубна, пика” совпадает с числом различных указанных выше пар действий и по правилу умножения вычисляется по формуле: 9 8 9 = 648 .

2-ой способ рассуждений. Первую бубну можно вытащить 9-ю способами (по числу всех

Пример 5. В урне находятся 10 белых, 15 черных, 20 красных шаров. Из урны последовательно без возвращения производят 9 извлечений по одному шару. Сколькими способами можно произвести указанное извлечение так, чтобы при первых двух извлечениях вынутыми оказались белые шары, при последующих трех извлечениях – черные, при оставшихся четырех извлечениях – красные?

Решение. Получение такой последовательности 9-ти шаров есть результат трёх действий. 1)Сначала выбирается 2 белых шара с учетом их порядка из 10 белых шаров. Как отмечалось выше, все 45 шаров различимы по номерам. Это действие может быть совершено

A102 способами.

2)Второе действие состоит в выборе последовательности из 3-х черных шаров (с учетом их порядка) из 15 черных шаров. Это действие может быть совершено A153 различными способами.

3)Третье действие состоит в выборе последовательности из 4-х красных шаров (с учетом их порядка). Последнее действие может быть выполнено A204 различными способами.

Число различных последовательностей рассматриваемых 9-ти шаров совпадает с числом таких трёх действий, и, по правилу умножения, выражается по формуле

A102 A153 A 420 = 108!! 1215!! 1620!!.

Пример 6. На полке наудачу располагаются 10 книг. 1)Сколько существует различных способов расположения 10-ти книг? 2)Сколько существует различных способов расположения 10-ти книг, при которых 2 заранее помеченные книги окажутся рядом? 3)Сколько существует различных способов расположения 10-ти книг, при которых 3 заранее помеченные книги окажутся рядом?

Решение. 1)10 книг образуют множество из n = 10 различных элементов, так как книги разные. Расположение книг на полке – это упорядочивание книг слева направо. Таким образом, расположение книг на полке – перестановка из 10-ти элементов. Поэтому число различных расположений 10-ти книг на полке совпадает с числом различных перестановок из 10-ти элементов и находится по формуле P10 =10! = 3628800.

2)Подсчитаем число различных расположений 10-и книг, при которых 2 помеченные книги стоят рядом. Временно свяжем две заранее помеченные книги в один том. После этого на полке окажется 9 томов, из которых 8 – старые книги, а 9-ый том образован связкой двух книг. Существует 9! различных способов расположения указанных 9-ти томов на полке. При этом, тасуя две книги в связке 2! различными способами (по числу перестановок двух книг внутри составного тома), получим, что каждая из 9! перестановок 9-ти томов даст 2! искомых перестановок 10-ти книг. Следовательно, число искомых перестановок из 10 книг равно 9! 2!.

3)Как в предыдущем пункте, для отыскания числа перестановок 10 книг, при которых 3 заранее отмеченные книги окажутся рядом, свяжем эти 3 помеченные книги в один том. После этого на полке окажутся 7+1= 8 томов. Их мы расположим на полке 8! различными способами, при этом каждая из 8! перестановок 8-и томов порождает 3! искомых перестановок из 10-ти книг за счет того, что внутри связанного из трёх книг тома можно тасовать их 3! различными способами. Поэтому число перестановок 10-ти книг, при котором 3 заранее отмеченные книги стоят рядом, равно 8! 3!.