2. Вычисление объемов тел вращения

Телом будем называть любое ограниченное множество точек пространства.

Тело вращения – тело, полученное в результате вращения фигуры вокруг некоторой оси (оси вращения).

Объем тела вращения – аддитивная величина, следовательно, объем тела вращения можно определить с помощью определенного интеграла.

Вычисление объема в прямоугольной системе координат. Воспользуемся дифференциальным методом.

1. Найти дифференциал объема как главную часть приращения объема.

2. Определить пределы интегрирования .

3. Вычислить объем .

Дифференциал объема в прямоугольной системе координат – объем цилиндра с бесконечно малой высотой и переменным основанием.

Форма записи дифференциала объема зависит от условий задачи – от того, как задана фигура, которая в результате вращения образует тело, и что принято за ось вращения.

О сь вращения будем отмечать дугой со стрелкой

2. y

1 . y

y

O a x a=0 dx b x

dx

. .

4. y

3 . y

d

d

dy

dy

c

O x c=0 x

. .

Замечание. На всех чертежах изображено сечение тела плоскостью чертежа.

Задача 7.2.1. Фигура, ограниченная линиями , вращается вокруг оси . Найти объем тела вращения.

▲ – полукубическая парабола, смещенная на 1 вправо по оси . – прямая.

Точки пересечения полукубической параболы и прямой:

. Построение очевидно.

y

B

O 1 2 x

dx

1) Имеем дифференциал объема: .

2) Пределы по чертежу: .

3) Вычислим объем: . ▼

Задача 7.2.2. Фигура, ограниченная линиями , вращается вокруг оси .

Найти объем тела вращения.

▲ – парабола, – прямая. Точки пересечения параболы и прямой:

. Построим чертеж:

y

A

O 4 x

1) Найдем .

2) Пределы определяем из решения системы при определении точек пересечения параболы и прямой: .

3) Вычисляем объем:

. ▼

Вычисление объема при параметрическом задании линий, ограничивающих фигуру.

Задача 7.2.3. Фигура, ограниченная одной аркой циклоиды и осью вращается вокруг оси . Найти объем тела вращения.

▲ Чертеж циклоиды очевиден.

y

O dx 2πa x

1) .

2) Пределы определяются по пределам из зависимости . Имеем

	0
	0

3)

.

3. Вычисление длин плоских кривых при различных способах задания линий основные понятия и формулы

1. Длина кривой.

Рассмотрим на плоскости кривую , заданную параметрически:

,

где – непрерывные функции на отрезке , причем различным значениям соответствуют различные точки (т. е. нет кратных точек). Такую кривую назовем простой (плоской) незамкнутой кривой.

Если точки совпадают, а остальные точки не являются кратными, то кривая называется простой замкнутой кривой.

Длина дуги – аддитивная величина, следовательно, ее можно найти с помощью определенного интеграла.

Воспользуемся дифференциальным методом.

1. Найти дифференциал дуги в зависимости от способа задания кривой.

2. Определить пределы интегрирования.

3. Вычислить интеграл от дифференциала дуги.

2. Длина кривой в декартовых координатах. Если кривая задана уравнением

,

причем функция имеет на отрезке непрерывную производную, то дифференциал дуги вычисляется по формуле

,

а длина кривой по формуле

.

Если кривая задана уравнением

,

причем функция имеет на отрезке непрерывную производную, то дифференциал дуги вычисляется по формуле

,

а длина кривой по формуле

.

3. Длина кривой, заданной параметрически. Пусть кривая задана параметрическими уравнениями , причем функции имеют на отрезке непрерывные производные. Тогда дифференциал дуги выражается формулой

а длина кривой

.

4. Длина кривой в полярных координатах. Если кривая задана уравнением , , причем функция имеет на отрезке непрерывную производную, дифференциал дуги выражается формулой

,

а длина кривой

.

Замечание. Задачи на вычисление длин дуг можно решать без чертежа.

Задача 7.3.1. Найти длину дуги кривой .

▲ 1.

.

2. Пределы заданы в условии задачи .

3.

. ▼

Задача 7.3.2. Вычислить длину дуги одной арки циклоиды .

▲ Кривая задана параметрически.

1.

.

2. Пределы для переменной определяются по пределам из уравнения

	0
	0

3. . ▼

Задача 7.3.3. Вычислить длину логарифмической спирали .

▲ Кривая задана в полярной системе координат.

1. .

2. Пределы заданы по условию задачи: .

3. .