Работа 1. ПЛАНИРОВАНИЕ ДРОБНОГО ФАКТОРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

Цель работы - приобретение практических навыков в планировании и проведении экспериментов при поиске параметров линейной модели сложной системы управления.

Порядок выполнения работы

Работу следует выполнять в таком порядке:

1. Подготовить исходные данные для проведения эксперимента (вари­анты исходных данных приведены в табл. 1.3):

— составить модель локального участка целевой функции;

— выбрать положение локального участка и интервалы варьирова­ния;

— выбрать дробность реплики и составить план проведения экспери­мента.

2. Провести эксперимент:

— определить на модели исследуемого объекта («черного ящика») значения целевой функции;

— вычислить коэффициенты регрессии;

— проверить коэффициенты регрессии на значимость;

— проверить адекватность модели.

3. Оформить бригадный отчет о работе.

4. Ответить на контрольные вопросы.

Общие сведения

Статистические методы планирования активного эксперимента явля­ются одним из эмпирических способов получения математического описа­ния сложных объектов исследования, т.е. уравнения связи отклика объекта у и независимых управляемых входных переменных (факторов) х=(x₁,x₂,…,x_k).

При этом математическое описание представляется в виде некоторого полинома — отрезка ряда Тейлора, в который разлагается неизвестная зависимость в окрестности основной точки x, например:

M{y}=(x₁,x₂,…,x_n)=₀+_jx_j+_jlx_jx_l+_jjx_j², j,l=1..k, l<j (1.1)

где _j,_jl ,_jj – теоретические коэффициенты:

; ;

Вследствие наличия неуправляемых и даже неконтролируемых факто­ров изменение величины у носит случайный характер, поэтому функцио­нальная зависимость (x) не дает точной связи между управляемыми факторами x⁽ⁱ⁾ и откликом объекта y_i, в каждом i-м опыте, а лишь между управляемыми факторами и математическим ожиданием случайной вели­чины y:

M{y_i}=(x⁽ⁱ⁾) (1.2)

где (x) – уравнение регрессии у по х; x⁽ⁱ⁾=(x₁⁽ⁱ⁾, x₂⁽ⁱ⁾,…, x_n⁽ⁱ⁾ ) – i-я точка пространства независимых управляемых факторов (факторного пространства).

В таком случае по результатам эксперимента можно отыскать оценку уравнения регрессии у=(x) в форме некоторого полинома

у^М=b₀+b_jx_j+b_jlx_jx_l+b_jjx_j², j,l=1..k, l<j (1.3)

где коэффициенты b₀, b₁,…, b_j,…, b_jj являются лишь оценками теоре­тических коэффициентов регрессии ₀, ₁, _j, _jj соответственно, а у^М — оценкой М{y}, вычисленной по уравнению регрессии (1.3). Пусть x⁽ⁱ⁾(i=1,N) — точки факторного пространства, в которых проводится эксперимент. Тогда задача отыскания оценок коэффициентов уравнения регрессии (1.3) по результатам опытов в N точках факторного пространст­ва является типичной задачей множественного регрессионного анализа в том случае, если выполняются следующие предпосылки:

1. Результаты наблюдений отклика y₁, y₂,…, y_N в N точках фактор­ного пространства представляют собой независимые нормально распреде­ленные случайные величины, т.е. на них воздействуют нормально распре­деленные случайные помехи , с нулевым математическим ожиданием M[].

2. Дисперсии ²{y₁} (i=1,N) равны. Это значит, что дисперсия ²{y₁} не зависит от значения входных переменных x и получаемые при проведении многократных повторных наблюдений над величиной y в любых точках x⁽ⁱ⁾ факторного пространства выборочные оценки диспер­сии s_i (у) однородны (воспроизводимость с равной точностью).

3. Независимые управляемые факторы x₁, x₂,…, x_k измеряются с пренебрежимо малыми ошибками по сравнению с ошибкой , в определе­нии у (имеется в виду влияние их ошибок на величину у по сравнению с влиянием неуправляемых и неконтролируемых факторов).

Для локального участка в пределах заданной точности поверхность отклика может быть аппроксимирована полиномом первой степени

y^M=b₀+b_jx_j j=0..k (1.4)

Положение локального участка задается координатами базовой (центральной) точки (x₁₀, x₂₀,…, x_k0), называемой центром экспери­мента, и величиной интервалов варьирования x₁, x₂,…, x_k.

Выбор координат базовой точки должен отвечать следующим услови­ям:

• центр эксперимента принимается в точке обычного номинального режима

функционирования исследуемой системы (объекта);

• базовая точка может находиться в центре области ограничения факторов х_i, если они имеются в наличии, а другой информации о целевой функции нет;

• если имеется какая-то информация относительно положения экс­тремума целевой функции, то целесообразно центр эксперимента выбрать вблизи предполагаемого оптимума.

Интервалы варьирования выбираются исходя из следующих сообра­жений. Большие интервалы варьирования не позволяют определить осо­бенности поверхности отклика. Слишком малые интервалы обусловлива­ют рост погрешностей в оценке составляющих градиента за счет возраста­ния ошибки наблюдений. Кроме того, необходимо, чтобы входные и вы­ходные переменные не выходили за допустимую область:

x_{j min}x_jx_{j max}, j=1,k (1.5)

где x_{j min}, x_{j max} — нижняя и верхняя границы изменения j-го фактора.

В общем случае выбор локального участка (центра плана и интерва­лов варьирования) зависит от вида поверхности отклика. В лабораторной работе начальные координаты центра плана принимаются равными сере­дине области определения факторов, а начальные значения интервалов варьирования обычно принимаются равными 1...5% от величины указан­ной области.

При построении плана эксперимента в локальной области факторно­го пространства используется кодировка уровней факторов с помощью формулы

где х_j— кодированное значение уровня фактора; х_j^ — реальное значение уровня фактора в натуральных единицах; х_j0^ — значение фактора в центре плана в натуральных единицах; x_j^— интервал варьирования в натуральных единицах.

Если число факторов известно и планирование проводится на двух уров­нях, то число опытов, необходимое для реализации всех возможных ком­бинаций уровней факторов, будет

N=2^k

Условия эксперимента можно записать в виде таблицы, где строки соответствуют различным опытам, а столбцы — значениям факторов. На­пример, для двух факторов условия эксперимента приведены в табл. 1.1.

Таблица 1.1

Номер	Фактор		Отклик
	х1	х2	у
1	-1	-1	у1
2	+1	-1	у2
3	-1	+1	у3
4	+1	+1	у4

Сформированный подобным образом план эксперимента называется

двухуровневым полным факторным экспериментом (ПФЭ) типа 2^k . Для его построения можно воспользоваться следующим приемом: в первом столбце знаки меняются поочередно, во втором — чередуются через два, в третьем — через четыре, в четвертом — через восемь и т.д.

План, соответствующий построенной таким образом матрице плани­рования (МП), обладает следующими свойствами:

1) симметричность относительно центра эксперимента — алгебраи­ческая сумма элементов вектор-столбца каждого фактора равна нулю:

x⁽ⁱ⁾_j=0, i=1,N, j=1,k

2) условие нормировки — сумма квадратов элементов каждого столб­ца равна числу опытов:

 (x⁽ⁱ⁾_j)²=N, i=1,N, j=1,k

3) ортогональность матрицы — скалярное произведение любых двух векторов-столбцов матрицы равна нулю:

x⁽ⁱ⁾_j* x⁽ⁱ⁾_u =0, ju, i=1,N, j,u=1,k

Полный факторный эксперимент дает возможность вычислить неза­висимо коэффициенты, соответствующие не только линейной части моде­ли (1.1), но и эффектам взаимодействия. Во многих практических задачах влияние взаимодействий (произведений факторов) второго и более высо­ких порядков отсутствует или пренебрежимо мало. Кроме того, на первых этапах исследования часто достаточно получить в первом приближении лишь линейную аппроксимацию изучаемого уравнения связи при мини­мальном количестве опытов. Поэтому неэффективно использовать ПФЭ для оценивания коэффициентов лишь при линейных членах и некоторых парных произведениях из-за избыточного числа точек плана (2^k), в осо­бенности при большом числе факторов k (для определения (k+1) коэффи­циентов линейной модели достаточно (k + 1) точек плана эксперимента).

Дробным факторным экспериментом (ДФЭ) называется эксперимент, реализующий часть (дробную реплику) полного факторного эксперимен­та. Он позволяет получить, например, линейное приближение искомой функциональной зависимости М {у} = (х) в некоторой небольшой ок­рестности точки базового режима при меньшем числе опытов.

Так, для решения трехфакторной (k = 3) задачи регрессии в линейном приближении можно ограничиться четырьмя вариантами варьирования, если для плана ПФЭ типа 2² переменных х ₁ , х ₂ произведение х ₁, х ₂ приравнять третьему независимому фактору х ₃. Использование матрицы планирования, представленной в табл. 1.2, позволяет найти свободный член b ₀ и три оценки коэффициентов регрессии при линейных членах

b₁, b₂, b₃ (из четырех опытов нельзя получить более четырех оценок коэффициентов регрессии).

Таблица 1.2

n	X0	X1	X2	X3	X1 X2	X1 X3	X2 X3	X1X2X3
1	+1	-1	-1	+1	+1	-1	-1	+1
2	+1	+1	-1	-1	-1	-1	+1	+1
3	+1	-1	+1	-1	-1	+1	-1	+1
4	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1

Применение ДФЭ всегда связано со смешиванием, т.е. с совместным оцениванием нескольких теоретических коэффициентов математической модели. В рассматриваемом случае каждый из найденных коэффициентов b₁ включает в себя оценки двух теоретических коэффициентов регрессии:

b₀₀+₁₂₃; b₁₁+₂₃; b₂₂+₁₃; b₃₃+₁₂;

Действительно, указанные теоретические коэффициенты в таком пла­нировании не могут быть найдены раздельно, поскольку столбцы МП для линейных членов и парных произведений совпадают (полностью коррелированы). Рассмотренный план ДФЭ представляет половину плана ПФЭ типа 2 ³ и называется полурепликой от ПФЭ типа 2 ³ или планом типа N = 2^3-1 (табл. 1.2).

При большом числе k факторов для получения линейного приближе­ния можно построить дробные реплики более высокой степени дробности. Так, при k= 5 можно составить дробную реплику (четвертьреплику) на основе ПФЭ типа 2 ³, приравняв два из пяти факторов к взаимодействиям трех других факторов: парному и тройному. Будем обозначать тип дроб­ной реплики записью 2 ^k-p, если р факторов приравнены к произведени­ям остальных k - р факторов. Дробность реплики при этом равна

1/2^p.

При планировании ДФЭ недопустимо произвольное разбиение ПФЭ на части. Для правильного планирования ДФЭ необходимо использовать все имеющиеся сведения теоретического и интуитивного характера об объекте и выделить те факторы и произведения факторов, влияние кото­рых на отклик существенно. При этом смешивание нужно производить так, чтобы линейные коэффициенты ₀, ₁, …, _k были смешаны с коэффициентами при взаимодействиях самого высокого порядка (так как обычно они в модели отсутствуют) или при тех взаимодействиях, о кото­рых априори известно, что они не оказывают влияния на отклик.

Для построения плана ДФЭ типа 2 ^k-p выбирается k - р факторов и для них строится ПФП. Значения оставшихся p факторов определяются приравниванием их различным взаимодействиям (парным, тройным и т.д.) предшествующих факторов. Эти выражения называются генерирую­щими соотношениями. Так, в рассмотренном выше примере при построении полуреплики типа 2 ^3-1 переменная x была задана генерирующим соотношением х₃ = х₁ х₂.

Умножив обе части генерирующего соотношения на переменную, для задания которой оно использовалось, получим выражение, называемое определяющим контрастом (1 = х ₁ х ₂ х ₃ , так как всегда х ₁ х ₁ = 1 ). Совокупность всех определяющих контрастов, а также их произведений составляет обобщающий определяющий контраст (ООК).

Значение ООК позволяет для всех факторов определить, с какими эффектами взаимодействия смешаны их линейные эффекты. Перемножив поочередно каждый из независимых факторов на ООК, получим x₁=x₂x₃, x₂=x₁x₃, x₃=x₁x₂. Собственно сам ООК зада­ет систему смешивания для центра плана x₀=x₁x₂x_3.

Отсюда легко находятся смешиваемые теоретические коэффициенты регрессии и их оценки:

b₀₀+₁₂₃; b₁₁+₂₃; b₂₂+₁₃; b₃₃+₁₂;

Если априори можно принять, что коэффициенты при всех парных и тройном взаимодействиях равны нулю, то реализация этой полуреплики позволит получить раздельные оценки всех четырех линейных коэффици­ентов регрессии.

Для четвертьреплики в пятифакторном планировании типа 2^5-2 должны быть заданы два генерирующих соотношения, например:

x₄=x₁x₂x₃, x₅=x₁x₂,

причем полагаем ₁₂₃= 0, т.е. x₁,x₂,x₃ все вместе не взаимодейст­вуют и ₁₂= 0 , т.е. x₁,x₂ также не взаимодействуют. Определяющие контрасты для этой реплики согласно приведенным выше правилам имеют вид

1=x₁x₂x₃x₄, 1=x₁x₂x₅

Обобщающий определяющий контраст, построенный на основе всех полученных определяющих контрастов и их произведений, полностью характеризует разрешающую способность реплик высокой степени дроб­ности. Так, в данном случае ООК имеет вид

1= x₁x₂x₃x₄= x₁x₂x₅=x₃x₄x₅.

Совместные оценки здесь определяются вспомогательными соотно­шениями

x₀=x₁x₂x₃x₄=x₁x₂x₅=x₃x₄x₅;

x₁=x₂x₃x₄=x₂x₅=x₁x₃x₄x₅;

x₂=x₁x₃x₄=x₁x₅=x₂x₃x₄x₅;

x₁x₃=x₂x₄=x₂x₃x₄=x₁x₄x₅;

x₃=x₁x₂x₄=x₁x₂x₃x₅=x₄x₅;

x₄=x₁x₂x₃=x₁x₂x₄x₅=x₃x₅;

x₅=x₁x₂x₃x₄x₅=x₁x₂=x₃x₄;

Эти вспомогательные соотношения позволяют установить, какие столбцы МП окажутся линейно зависимыми и, следовательно, совместной оценкой каких теоретических коэффициентов является тот или иной выбо­рочный коэффициент регрессии:

b₀₀+₁₂₃₄+₁₂₅+₃₄₅;

b₁₁+₂₃₄+₂₅+₁₃₄₅;

b₂₂+₁₃₄+₁₅+₂₃₄₅;

b₃₃+₁₂₄+₁₂₃₅+₄₅;

b₄₄+₁₂₃+₁₂₄₅+₃₅;

b₅₅+₁₂₃₄₅+₁₂+₃₄;

b₁₃₁₃+₂₄+₂₃₅+₁₄₅;

b₁₄₁₄+₂₃+₂₄₅+₁₃₅;

Разрешающая способность этой четвертьреплики невысокая и равна трем, так как все теоретические линейные коэффициенты регрессии сме­шаны с коэффициентами при парных взаимодействиях. Следует иметь в виду, что план ДФЭ всегда можно дополнить до плана ПФЭ недостающи­ми дробными репликами. В данном примере для остальных трех четвертьреплик генерирующие соотношения запишутся в виде

x₄=x₁x₂x₃;

x₅=-x₁x₂;

x₄=-x₁x₂x₃;

x₅=x₁x₂;

x₄=-x₁x₂x₃;

x₅=-x₁x₂;

а обобщающие определяющие соотношения — в виде

1=x₁x₂x₃x₄=-x₁x₂x₅=-x₃x₄x₅;

1=-x₁x₂x₃x₄=-x₁x₂x₅=-x₃x₄x₅;

1=-x₁x₂x₃x₄=-x₁x₂x₅=x₃x₄x₅;

Осуществление этих дополняющих четвертьреплик означает реализа­цию ПФЭ в целом и, следовательно, раздельное оценивание всех теорети­ческих коэффициентов регрессии.

С учетом свойств матрицы планирования формулы для вычисления оценок коэффициентов регрессии b_j и b_j1 принимают вид

; ; ; j,l=1,..,k, jl (1.6)

Поскольку они определяются по результатам эксперимента (случай­ные величины), то и значения их также случайны, т.е. определяются с погрешностями. Может случиться, что абсолютная величина некоторых коэффициентов приблизительно равна погрешностям их определения или даже меньше. Такие коэффициенты считаются незначимыми. Физически незначимость коэффициента по какому-либо фактору х_j означает, что приращение целевой функции, вызванное изменением фактора х_j, соиз­меримо с погрешностями измерения целевой функции.

Для ортогональных планов ПФЭ и ДФЭ дисперсии коэффициентов регрессии равны между собой и определяются следующим образом:

_bj²=_bjl²=Dвос/N,

где Dвос - ²{у} — дисперсия воспроизводимости, характеризующая

ошибку наблюдений. Для ее определения в одной из точек плана (обычно в центре) производится q независимых наблюдений выходной переменной у. Оценка Dвос будет

;

где у _0j — значение выходной переменной в i-м наблюдении.

Проверка значимости коэффициентов b j состоит в проверке статис­тической гипотезы H₀: bj = 0 . С этой целью используется статистика

U j=b_j/_{bj ,} подчиненная t-распределению Стьюдента c _вос =q -1 числом степеней свободы. Если вычисленное значение U j< t_, то гипотеза принимается и коэффициент bj незначим. Значение t_ берется из таблицы t-распределения (приложение 2) при заданном уровне значи­мости .

Аналогично может быть проверена значимость коэффициентов рег­рессии b_jl.

Статистическая незначимость оценки коэффициента регрессии может быть обусловлена следующими причинами:

— данный j-й фактор не имеет функциональной связи с откликом, т.е. _j = 0 ;

— уровень х_j0 базового режима x₀ находится в точке частного экстремума функции отклика по фактору xj и тогда

_j=y/x_j=0;

— интервал варьирования x_j выбран малым;

— вследствие влияния неуправляемых и неконтролируемых факторов велика ошибка воспроизводимости эксперимента.

Если значимы все коэффициенты регрессии, полученная модель может быть использована для исследования системы.

Если часть коэффициентов регрессии значима, а часть незначима, то можно провести дополнительную серию опытов с тем же центром плана (или с его переносом) и новыми интервалами варьирования по незначи­мым факторам.

Возможны другие способы получения значимых коэффициентов — увеличение числа параллельных опытов и достройка плана путем перехода к реплике меньшей дробности.

Если все коэффициенты незначимы, следует увеличить интервалы варьирования х_j ( j=1,k) по всем факторам.

Следует отметить, что найденные по формулам (1.6) параметры моде­ли могут быть использованы только при подстановке в модель (1.4) нор­мированных значений переменных (1.5). Для получения линейной регрес­сионной модели, использующей значения входных переменных в нату­ральных единицах, необходимо произвести пересчет коэффициентов мо­дели по формулам

; ; j=1,..,k

где b — коэффициенты модели в нормированной системе координат; а — коэффициенты модели в абсолютной системе координат.

Для модели первого порядка с парными взаимодействиями формулы пересчета коэффициентов имеют вид

;

, i=1..k;

, i,j=1..k, i>j

Для проверки гипотезы об адекватности математического описания опытным данным достаточно оценить отклонение предсказаний по полу­ченному уравнению регрессии величины отклика у^M_i от результатов на­блюдений y_i в одних и тех же i -x точках факторного пространства. Рас­сеяние результатов наблюдений вблизи уравнения регрессии, оцениваю­щего истинную функцию отклика, можно охарактеризовать с помощью дисперсии адекватности

,

где (k + 1) — число членов аппроксимирующего полинома. Дисперсия адекватности определяется с числом степеней свободы _ад=N-(k+1).

Проверка гипотезы об адекватности состоит, по сути дела, в сопостав­лении дисперсии адекватности D _ад с оценкой дисперсии воспроизводимости отклика D_вос. Если эти оценки дисперсий однородны, то матема­тическое описание адекватно представляет результаты опыта, если же нет, то описание считается неадекватным. Проверку гипотезы об адекватности производят с использованием F -критерия Фишера, который характери­зуется отношением

F=D_ад/D_вос.

Если найденное эмпирически значение критерия F меньше критичес­кого F_кр, найденного из приложения 1 для соответствующих степеней свободы числителя v_ад = N - (k+l) и v_вос= q-1 знаменателя при заданном уровне значимости , то гипотезу об адекватности принимают. В противном случае гипотезу отвергают и математическое описание признается неадекватным.

Проверка адекватности возможна только при числе степеней свободы _ад и _вос больше нуля. Если число N вариантов варьирования плана ПФЭ равно числу оценок коэффициентов регрессии N = k + 1 , то для проверки гипотезы об адекватности математического описания степеней свободы не остается (_aд =0). Если же некоторые оценки коэффициен­тов регрессии оказались незначимыми, то число членов проверяемого уравнения в этом случае меньше числа N вариантов варьирования N > k + 1 и для проверки гипотезы об адекватности останется одна или несколько степеней свободы (_ад > 0). Однако в этом случае необходи­мо исключить незначимые коэффициенты b_j из уравнения регрессии и пересчитать величину D_ад.

Если гипотеза об адекватности отвергается, необходимо переходить к более сложной форме математического описания либо, если это возмож­но, проводить эксперимент с меньшим интервалом варьирования  xj. Следует отметить, что максимальная величина интервала варьирования определяется условием адекватного описания объекта в области варьиро­вания. Если при больших интервалах варьирования математическая мо­дель неадекватна, то возникают систематические ошибки в определении коэффициентов, для уменьшения которых следует сузить область варьиро­вания. Однако с уменьшением интервала варьирования появляется целый рад новых трудностей: растет отношение помехи к полезному сигналу, что приводит к необходимости увеличения числа параллельных опытов для выделения полезного сигнала на фоне шума, иначе оценки коэффициентов могут стать статистически незначимыми.

Если линейная модель неадекватна, то необходимо оценить значи­мость влияния квадратичных членов уравнения (1.1) на выходную пере­менную. С этой целью используется статистика

,

подчиненная t - распределению Стьюдента с числом степеней свободы _boc = q - 1 .Если U < t_ , найденного из приложения 2 при заданном уровне значимости , то влияние факторов хj² незначимо и им можно пренебречь. В противном случае нужно переходить к уравнению регрессии более высокого порядка.

Варианты задания области изменения факторов и значимых взаимо­действий представлены в табл. 1.3.

Таблица 1.3

Номер варианта	Границы области допустимых значений факторов						Значимые взаимодействия
	Х1	Х2	Х3	Х4	Х5
1	0;30	-10;40	0;70	-50;20	-15;15	x1x3, x1x4
2	40;100	25;45	-10;80	20;100	25;65	x1x3, x1x5
3	10;70	10;80	-15;65	50;90	40;100	x2x3, x3x4
4	40;90	-20;20	10;60	50;100	-15;45	x1x4, x1x5
5	20;60	0;60	-15;75	0;40	10;60	x1x4, x3x4
6	10;60	-15;75	40;90	50;80	0;100	x1x3, x2x3
7	45;85	40;120	30;100	20;70	50;120	x1x3, x3x4
8	50;125	-20;50	20;80	40;90	30;80	x2x4, x2x5

Для проведения эксперимента и получения значений функции от­клика в заданных точках плана используется стандартная программа BLACKBOX, входящая в состав математического обеспечения кафед­ры. Способы обращения к программе и организации ввода данных представляются преподавателем.

Содержание отчета

Отчет должен содержать:

— задание;

— матрицы планирования эксперимента, составленные из кодирован­ных и реальных значений входных переменных;

— результаты эксперимента;

— результаты расчетов оценок коэффициентов регрессий и диспер­сий;

— результаты проверки значимости коэффициентов и адекватности модели;

— выводы по работе.

Контрольные вопросы

1. Каким образом формируется матрица планирования при ПФЭ?

2. Какими свойствами обладает матрица планирования?

3. Как осуществляется выбор интервала варьирования? Его допусти­мые максимальные и минимальные значения.

4. Дробные реплики. Значение реплик и составление для них матриц планирования.

5. Почему желательна симметрия уравнений регрессии относительно коэффициентов?

6. Каково допустимое минимальное число экспериментов при задан­ном числе факторов?

7. Полуреплики 2 ^4-1 заданы: одна — определяющим контрастом 1=x₁x₂x₃x₄, другая — генерирующим соотношением х ₄ = - x₁ х₂ . Какая из этих полуреплик обладает большей разрешающей способностью?

8. Матрица планирования (ДФЭтипа2^5-1) задана генерирующими соотношениями x₄=-x₁x₃; x₅=x₁x₃x₂. Найти систему смешивания основных факторов.

9. Как проверить значимость оценок коэффициентов регрессии?

10. При каких условиях оценки коэффициентов регрессии незначимы и как эти условия устранить?

11. Как проверить адекватность модели?

Работа 2 МЕТОД КРУТОГО ВОСХОЖДЕНИЯ (МЕТОД БОКСА — УИЛСОНА)

Цель работы — знакомство с методом планирования экспериментов, предназначенных для поиска условий, которые обеспечивают экстремум функции отклика.

Порядок выполнения работы

Работу следует выполнять в таком порядке:

1. Для построенной линейной регрессионной модели рассчитать шаги движения по градиенту.

2. Построить в натуральных единицах план эксперимента, реализую­щий движение по градиенту.

3. В 3-4-х точках провести «мысленные» опыты для получения расчетных значении отклика y^M.

4. Провести эксперименты на ЭВМ и определить экстремальные зна­чения функции отклика.

5. В найденной экстремальной точке вновь построить линейную мо­дель и осуществить движение в область экстремума поверхности отклика.

6. Оформить отчет о работе.

7. Ответить на контрольные вопросы. Общие сведения

Метод крутого восхождения основан на использовании движения по градиенту в сторону возрастания выходной переменной у .

Напомним, что вектор-градиент в k-факторном пространстве опреде­ляется соотношением

,

где (i=1..k) — единичные направляющие векторы (орты), распо­ложенные вдоль факторных осей; д у / д х _i — частная производная целе­вой функции по i-му фактору.

Для линейной регрессионной модели вида у = b₀ + b_lx_l + ...+ b_kx_k коэффициенты bj являются компонентами вектора-градиента.

Таким образом, если коэффициент регрессии b_j умножить на интер­вал варьирования фактора х_i, то будет определено приращение коорди­наты x_i точки, лежащей на градиенте. Это положение для двумерного случая иллюстрируется на рис.2.1.

Расчет движения по градиенту осуществляется таким образом, чтобы от центра плана до границ области в направлении градиента получилось 8-10 шагов. Для этого необходимо :

а) определить составляющие градиента в реальном масштабе

_I=b_ix_i^_, i=1,k

б) вычислить число шагов по каждой из переменных в сторону возрас­тания функции от центра плана х_io до границы области x_i^Г в направ­лении движения х_i^ _min или х_i^ _max:

где t — масштабный коэффициент (первоначально t = 1 );

в) определить минимальное число шагов в направлении градиента в допустимой области п= minn_i. Если оно неудовлетворительно, то мас­штабный коэффициент t необходимо скорректировать таким образом, чтобы получить число п в желаемом интервале (8-10);

г) величину шага по выбранной в п.«в» 7-й переменной принять за базовую б а з = _Itкон;

д) определить величину шага по всем переменным, обеспечивающую движение по градиенту в реальном масштабе:

, i=1..k;

е) определить координаты точек на i- м шаге в направлении градиента

, l=1,2,…,

и провести в них «мысленные» (по модели) и проверочные (реальные) опыты.

«Мысленные» опыты заключаются в получении предсказанных (рас­четных) значений отклика у ^м по полученному линейному уравнению регрессии. Они позволяют: 1) сокращать объем реальных опытов; 2) полу­чить представление о том, насколько хорошо регрессионные уравнения аппроксимируют реальную поверхность отклика, т.е. насколько расчет­ные значения у ^м отличаются от значений y, наблюдавшихся в реальных опытах.

Проделывая эксперименты в каждой точке (с выбранным шагом), построим зависимость функции отклика от номера шага (рис.2.2).

Найденная в результате движения по градиенту экстремальная точка принимается в качестве исходной (центр плана) для построения нового плана эксперимента.

Вокруг нее снова формируется ПФП (ДФП), проводится эксперимент, строится линейная модель, определяется новое направление движения в направлении градиента и повторяются все действия, обеспечивающие дви­жение в область экстремума функции отклика.

Для организации движения по градиенту можно также использовать методы оптимизации функции одной переменной (методы дихотомии, «золотого сечения», чисел Фибоначчи и др.).

Поисковое рабочее движение прекращают по достижении области экстремума. Признаком достижения экстремума является статистическая незначимость оценок b _i коэффициентов линейной регрессии, вычислен­ных по результатам ПФЭ (ДФЭ) вокруг очередной нулевой точки, либо выход на границу области допустимых значений факторов.

Содержание отчета

Отчет должен содержать:

—задание;

— матрицы планирования эксперимента;

— результаты эксперимента, оформленные в виде таблицы;

— график изменения функции отклика при движении по градиенту;

— выводы по работе.

Контрольные вопросы

1. В чем заключается процедура метода крутого восхождения?

2. В чем состоит роль мысленных опытов и как они проводятся?

3. Каким образом методом крутого восхождения можно исследовать поверхность с несколькими экстремумами?

4. Как определить расчетные составляющие рабочих шагов в реаль­ном масштабе в направлении градиента?

5. Когда заканчивается поисковое рабочее движение к области экстре­мума функции отклика?

Работа 3. ПЛАНИРОВАНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА.

ОРТОГОНАЛЬНОЕ ЦЕНТРАЛЬНОЕ КОМПОЗИЦИОННОЕ

ПЛАНИРОВАНИЕ

Цель работы — изучение методов планирования эксперимента для получения математического описания системы в виде полинома второго порядка и использование этого описания для определения координат оп­тимума функции отклика.

Порядок выполнения работы

Работу следует выполнять в таком порядке:

1. Оформить план эксперимента.

2. Для заданной преподавателем модели исследуемого объекта («чер­ного ящика») провести на ЭВМ эксперименты в соответствии с получен­ным планом.

3. Определить оценки коэффициентов регрессии математической мо­дели «черного ящика».

4. Проверить значимость коэффициентов модели,

5. Проверить адекватность математической модели.

6. Найти координаты оптимума с использованием модели и провести уточняющий эксперимент.

7. Оформить отчет о работе.