Шпаргалка по статистике / tviMs

Программа курса по математической статистике Y семестр, группы 2341-42 (2004 г).

1. Основные понятия математической статистики. Статистический эксперимент. Виды задач математической статистики.

ТОЧЕЧНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ

2. Основные понятия. Статистики, оценки. Состоятельные, .,несмещенные, . асимптотически нормальные оценки. Смещение оценки.

3. Выборочный метод. Эмпирическая функция распределения. Теорема Гливенко- Кантелли (план д-ва). Преобразование Смирнова. .Теорема Колмогорова*. Оценивание теоретической функции распределения эмпирической. Гистограмма и . полигон частот.

4. Вариационный ряд и его характеристики. Примеры. Понятие рангов. .Одномерные и совместные распределения элементов вариационного ряда в абсолютно непрерывном случае.

5. Выборочные характеристики распределений. Примеры (моменты, квантили). Характеристики 1-го и 2-го типа. Теорема о сходимости выборочных характеристик к теоретическим (план д-ва).

6. Асимптотическая нормальность выборочных квантилей. Теорема.

7. Некоторые распределения, использующиеся в мат. статистике. Нормальное распределение, гамма распределение, хи-квадрат распределение.

8. Выборка из нормального распределения. Представление Хи-квадрат распределения с помощью нормальных. Распределение Стьюдента. Распределение Фишера- Снедекора.

9. Выборка из нормального распределения. Лемма Фишера. ОЦЕНИВАНИЕ ВЕЩЕСТВЕННОГО ПАРАМЕТРА

10.Примеры параметрических семейств распределений.

11.Постановка задачи точечного оценивания параметра. Функция потерь. Риск.

12.Несмещенное оценивание. Теорема единственности несмещенной оценки с

равномерно-минимальной дисперсией. Примеры несмещенных оценок. Пример

параметрического семейства, для которого не существует несмещенной оценки. 13.Допустимые и недопустимые оценки. Оптимальная, в смысле среднеквадратическог

риска, оценка'дисперсии в классе оценок, пропорциональных выборочной

дисперсии и ее смещение.

14.Минимаксный и байесовский подходы. Метод построения Байесовсих оценок. Приме (байесовская оценка среднего нормального распределения с нормальным априорны

распределением параметра). 15.Теорема Лемана. Минимаксность выборочного среднего, как оценки мат. ожидания

нормального распределения.

16.Метод моментов построения статистических оценок. Примеры. 17.Метод максимального правдоподобия. Примеры. 18.Достаточные статистики. Пример.

20.Теорема факторизации Неймана-Фишера. (Лемма Хэлмоша-Сэвиджа*). 21.Примеры нахождения достаточных статистик. 22.Минимальные достаточные статистики. Теорема о конечных семействах. Теорема о

вложенных семействах. 23.Теорема о минимальной достаточной статистике однопараметрического

экспоненциального семейства. Примеры. 22.Полные достаточные статистики и подчиненные статистики. Теорема Басу. Теорем

о полноте минимальной достаточной статистики однопараметрического

экспоненциального семейства*. 23.Оценивание с помощью достаточных статистик. Теорема Рао-Блэкуэлла-

Колмогорова. Теорема Лемана-Шеффе.

24.Построение НРМД-оценок на базе полной достаточной статистики. Примеры. 2Ь.Регулярный эксперимент. Информация Фишера. Свойства. Теорема о регулярности

прямого произведения регулярных экспериментов. 26.Неравенство Рао-Крамера. Эффективные по Фишеру оценки. 27.Примеры вычисления информации и примеры эффективных оценок. Эффективность и

метод максимального правдоподобия. 28.Асимптотически нормальные оценки. Асимптотическая эффективность по Фишеру.

Пример (сравнение асимптотической эффективности двух оценок среднего по

выборке из нормального распределения). 29.Сверхэффективность. Пример Ходжеса. Робастные оценки.

ДОВЕРИТЕЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ •:

30.Постановка задачи доверительного оценивания. Простейший метод построения доверительных интервалов (без примеров).

31.Примеры построения доверительных интервалов для параметров нормального закона (случай одной и двух выборок). • ,

32.Другие методы построения доверительных интервалов. Построение;; _; , •:; доверительного интервала для•.параметра распределения Бернулли.

33.Асимптотические доверительные интервалы. Построение асимптотических

доверительных интервалов на базе асимптотически нормальной оценки параметраi Пример (Распределение Бернулли, три подхода и связь между ними^.

ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

34.Постановка задачи проверки статистических гипотез. Понятие статистической гипотезы, вероятностей ошибок 1-го и 2-го рода, критерия, доверительной, критической области и области сомнений; мощности критерия. Выражение вероятностей ошибок в терминах критерия.

35.Задача проверки простой гипотезы при простой альтернативе. Лемма Неймана-Пирсона. Примеры наиболее мощных критериев. ,

36.Наиболее мощный критерий для проверки односторонней гипотезы. Пример (проверка качества воды);

37.Использование отношения правдоподобия при.лроверке сложной гипотезы в параметрической задаче с мешающим параметром.

38.Понятие асимптотического критерия. ••..:•

39.Различные постановки задач проверки статистических гипотез. Задачи проверим согласия, однородности, независимости, случайности. Основной метод построения критериев значимости. Альтернативы и различимость. . •

40.Проверка гипотез о параметрах нормального распределения.

41.Критерий согласия Колмогорова.

42.Критерий хи-квадрат для проверки простой гипотезы согласия.

43.Критерий хи-квадрат для проверки сложной параметрической гипотезы согласия.

МНОГОМЕРНЫЙ СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

44.Постановка задачи линейной регрессии. Метод наименьших квадратов.

Геометрическая интерпретация. Оценка По методу наименьших квадратов. Примеры. *4^Нй£*5И*митЬзраа«яе|:Я^-^^ Тёбрёма^Таусса-Маркова.

P.S. * - теоретические факты, доказательство которых приводить необязательно.