Шпаргалка по статистике / Вопросы по ТВиМС (32-38]

32 Другие методы построения доверительных интервалов. Построение доверительного интервала для параметра распределения Бернулли.

Пусть Т-статистика,– ф.р.

Пусть уровень знач.

Пусть F- непр.

Рассм. ур-ние

F – монот. возр. попар.

Подставляем сюда статистику Т и рассм. сечение этой области на уровне Т. Получаем в₁ и в₂

дов. инт. ур. α.

Пусть , т.е

, т.е

Утверждение: монотонно зависит от параметра

θ х.Тогда -доверительный интервал уровня α.

Док-во:

Замечание: Свойство монотонной зависимости от параметра по распределению обладают большинство разумных оценок параметра.

? как вычислить F_T

Отметим, что данное свойство можно использовать и в дискретном случае (точное равенство м.б. не получиться)

в₁,в₂ – т.ч.

Дискретный случай:

тогда [в₁(Т),в₂(Т)] – д. и. ур. α

Пример: (распределение Бернулли)

x₁…x_n – выборка из B_i (1,θ)

убывают пар-ры

Иногда можно отказаться от условия, что распр. G(T;θ) – не зависит от параметра, если можно вычислить

(т.е.  I₂) тогда - доверит. мн-ва ур-ня α.

33. Асимптотические доверительные интервалы. Построение асимптотических доверительных итервалов на базе асимптотически нормальной оценки параметра. Пример (распределение Бернулли, три подхода и связь между ними).

Определение: Послед-ть областей

- ас.д.область уровня α для θ,

если

Если - ас.д.и.

Замечание:

если - ас.д.и.ур.α

Способ построения:

Найти , т.ч.

а)

б)

Построение ас.д.и. на базе ас.норм.оценки

Пусть δ – ас.норм.оценки, т.е.

т.е.

Пусть

Если удастся выразить θ из

то находим д.и. в противном случае

Пусть δ^к(θ) – состоят. оценка для δ(θ)

(δ(θ)0) тогда

Пример: (распр. Бернулли)

x₁…x₂ – выборка из B_i (1,θ)

-------------------------------------------------------------------------

Интегральная теорема Муавра-Лапласа(ИТМЛ):

-------------------------------------------------------------------------

Итак

Находим х₂. Решаем:

АДИ (асимпт, доверит, интервал)

б) Вернемся

- сост. оценка для

Пусть

Решаем

в)

тогда АДИ

34. Постановка задачи проверки статистических гипотез. Понятие статистической гипотезы, вероятностей ошибок 1-го и 2-го рода, критерия, доверительной, критической области и области сомнений, мощности критерия. Выражение вероятностей ошибок в терминах критерия.

Статистическая гипотеза

Гипотеза – утверждение

Опред: Стат. гипотеза – утверждение о значении пар-ра θ.

Стат. гипотеза м.б. записана в виде

Опред: стат. гипотеза простая, если - одноточечное.

В прот. случае стат. гип. – сложная

Задача: Выдвигается основная гип. и альтернативная (несколько)

По результатам наблюдений надо выбрать Н₀ или Н₁

Правило выбора – критерий.

Опред: Критерий

Значение вероятность отвергнуть осн. гипотезу по результатам наблюдений

Согласно критерию область разбивается на 3 части:

Доверит.

Обл. сомнений

Критическая область

Опред: Критерий  - нерандомизированный, если (Х)={0,1}(или Р_θ((Х) (0,1))=0 θ)

В противном случае  - рандомизированный.

Классический подход Пирсона

В результате решения задачи ПСГ могут возникнуть следующие ситуации

	Принять Н0	Принять Н1
Верна Н0	+ (верное реш.)	ошибка 1 рода
Верна Н1	ошибка 2 рода	+

Ошибка 1 рода наиболее нежелательна. Вероятность ошибки 1 рода д.б. ограниченна некоторым числом α. α – уровень значимости критерия.

Р_θ(ош. 1 рода) α, θΘ₀ , Р_θ(ош. 1 рода)=

Ошибка 2 рода:

Р(ош. 2 рода)=

- мощность критерия

Задача: Найти критерий , такой что

если эта задача имеет решение *, то *-равномерно наиболее мощный (РНМ) критерий

РНМ критерий не всегда существует.

35. Задача проверки простой гипотезы при простой альтернативе. Лемма Неймана-Пирсона. Примеры наиболее мощных критериев.

Пусть Н₀: θ=θ₀ – простая гипотеза. Рассмотрим задачу проверки Н₀ при альтернативе:

Н₁: θ=θ₁ - простая (т.е. Θ={θ₀,θ₁}). Замечание: Поскольку альт. – простая, то РАМ критерий, если называть Н.М. Пусть

μ – мера доминирующая сем.

Например: ; (μ – мера Лебега или считающая мера, если возможно) Функция правдоподобия:

Введем статистику отношения правдоподобия:

Замечание: 1) Не зависит от выбора доминирующей меры

2) Если =0 или =, то выбор очевиден.

Лемма Неймана-Пирсона

В задаче проверки Н₀: θ=θ₀ при альтернативе Н₁: θ=θ₁, существует наиболее мощный критерий уровня значимости α, он строится следующим образом:

р[0,1)

Причем С выбирается следующим образом:

Замечание: 1) Если >0, то р выбирается однозначно и

2) Если =0  не важно значение р – критерий не рандомизированный.

Дополнение: Критерий  определяется однозначно на множестве

Если критерий есть функция от МДС, то он есть и единственный.

Доказательство: Перепишем критерий в виде:

Пусть имеется другой критерий, у которого тот же уровень значимости,

т.е.

=

= |*С и вычтем из

В свою очередь мощность критерия:

Дополнение: Можно показать, что на S+ и S- Н. М. критерий определяется однозначно с







36. Наиболее мощный критерий для проверки односторонней гипотезы. Пример (проверка качества воды)

Пусть - статистика, причем функция правдоподобия выражается как функция от этой статистики.

а)

б) - монот. Ф-я Т при

фиксир.

(либо возр. либо убыв. )

Поставим задачу проверки одностор. Гипотезы

, при альтернативе :

(пусть монот. возр. при )

Теорема:  РНМ критерий уровня α проверки Н₀

при альтернативе Н₁ вида

При этом константы р и С находятся из соотношения:

Док-во:

1)Найти  это критерий уровня α

2)

Р_θ(ош. 1 –го рода) =

Мощ-ть:

Пусть

если  - Н.М. критерий, то

2.  - Н.М. критерий проверки

, θ  РНМ

Пример: Требуется, чтобы концентрация бактерий в жидком растворе не превышала 1 бактерия на единицу объема

( S/ед.V)

Проводится след. стат. эксперимент:

Отбирается n проб объема V=1. Эти пробы помещ. в среду благоприятн. для роста бактерий. Если проба заражена, то раствор мутнеет. К- число зараженных проб. Проверить гипотезу

Решение:

V=N*v

- бактерий в этом объеме. Вероятность попадания бактерий в соотв. маленький объем, не зависимо от других = 1/N

При фиксир. N рассмотрим - число бактерий в объеме

v– имеет распределение Бернулли

Единственное, что наблюдается, есть ли бактерии в объеме.

Р(проба чистая)= - распред. Бернулли

Если V>>v, то можно считать что отбор проб прошел независимо

Получили, что х₁…х_п – выборка из р. Бернулли

- число зараженных проб



Будем строить НМ – критерий

,

Если мало чист. проб – отвергаем гипотезу, если много - принимаем

Если С>n, то вероятность =1

Воспользуемся интегральной теоремой Муавре-Лапласа.

Ас. критерий при больших n

(Т.к. )

,, С*= - находим из (+)

37. Использование отношения правдоподобия при проверке сложной гипотезы в параметрической задаче с мешающим параметром.

38. Понятие асимптотического критерия

Пусть

При опред. условиях регулярности

Величина

Пример: х₁…х_n – выборка из N(a,²)

H₀: a=a₀

H₁: aa₀

Функция правдоподобия

=

ас. кр. ур. α, [x_1α, x_2α] – квантиль