8.4.Проверка гипотезы однородности: критерий Колмогорова — Смирнова
Даны две выборки X = (X1, . . . , Xn) и Y = (Y1, . . . , Ym) из неизвестных распределений F и G соответственно. Проверяется сложная гипотеза H1 = {F = G} против (еще более сложной) альтернативы H2 = {H1 неверна}.
Критерий Колмогорова — Смирнова используют, если F и G имеют непрерывные функции распределения.
Пусть Fn(y) и Gm(y) — эмпирические функции распределения, построенные по выборкам X и Y,
|
r |
m + n |
y |
|
n |
|
m |
|
|
ρ(X, Y) = |
|
|
mn |
sup |
F |
(y) − G |
|
(y) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 9. Если гипотеза H1 верна, то ρ(X, Y) η при n, m → ∞, где η имеет распределение с функцией распределения Колмогорова.
p
Упражнение. Доказать, что ρ(X, Y) −→ ∞ при n, m → ∞, если H2 верна.
И снова: в таблице распределения Колмогорова по заданному ε найдем C такое,
что ε = P (η > C), и построим критерий согласия Колмогорова — Смирнова:
H1, если ρ(X) < C,
δ(X) =
H2, если ρ(X) > C.
Замечание 23. Если есть более двух выборок, и требуется проверить гипотезу однородности, часто пользуются одним из вариантов критерия χ2 Пирсона. Этот критерий (и ряд других критериев) рекомендую посмотреть в §3.4.2, с. 124 книги Г. И. Ивченко, Ю. И. Медведев. Математическая статистика. Москва, 1984, 248 с.