Поэтому на самом деле критерий, который мы построим по функции ρ из (23), решает совсем иную задачу. А именно, пусть задан набор вероятностей p1, . . . , pk такой, что p1 + . . . + pk = 1. Критерий χ2 предназначен для проверки сложной гипотезы
H10 = распределение X1 обладает свойством: P (X1 Aj) = pj для всех j = 1, . . . , k
против сложной альтернативы H20 = {H10 неверна}, т. е.
H20 = хотя бы для одного из интервалов вероятность P (X1 Aj) отличается от pj .
Покажем, что ρ(X) удовлетворяет условию K1(a).
Теорема Пирсона. Если верна гипотеза H10 , то при фиксированном k и при n → ∞
ρ(X) = Xk (νj − npj)2 Hk−1,
j=1 npj
где, напомним, Hk−1 есть χ2-распределение с k−1oстепенью свободы.
oСтоит остановиться и задать себе вопрос. Величина ρ есть сумма k слагаемых. Слагаемые, если вы не забыли ЦПТ или теорему Муавра — Лапласа, имеют распределения, близкие к квадратам каких-то нормальных. Куда потерялась одна степень свободы? Причина кроется, конечно, в зависимости слагаемых:
.