62.Умовне прогнозування

Оценка прогнозируемого значения y_n+1 является прогнозом, если вектор объясняющих переменных заранее неизвестен. Прогноз возникает во многих ситуациях на практике. Макроэкономические предвидения, как правило, являются прогнозами.

Если вектор неизвестен, то он будет наблюдаться с ошибкой , т. е. наблюдаемое значение

. (9.17)

Как и ранее, для вектора ошибок предполагаем выполнение условий Гаусса-Маркова:

, , , t = 1, ..., n+1.

Аналогично оценке предсказания (9.8) оценку прогноза, учитывая (9.17), запишем в виде

. (9.18)

Величина называется ошибкой прогноза. Можно показать, что

, . (9.19)

Сравнивая (9.10) и (9.19), отмечаем, что дисперсия ошибки прогноза больше дисперсии ошибки предсказания. Это означает, что оценка прогноза менее точна, чем ошибка предсказания, причём расхождение тем больше, чем больше дисперсия ошибок наблюдаемых значений объясняющих переменных в прогнозируемый период.

Таким образом, при условном прогнозировании основная задача заключается в минимизации возникающей дополнительной ошибки путем моделирования как можно более точного поведения объясняющих переменных.

Существует два основных подхода. В первом для объясняющих переменных строят отдельные модели. Во втором совмещают в одну модель уравнение для y и уравнения для и оценивают так называемую систему одновременных уравнений.

63.Стійкість регресійної моделі

Ранее мы установили, что математическое ожидание ошибки предсказания (и ошибки прогноза) равно нулю. Таким образом, мы должны оценить прогнозную способность модели.

Если значение принадлежит периоду выборки ( ), и регрессионная модель адекватно отражает исходные данные, то мы считаем, что рассчитанная МНК-ошибка существенно не отличается от нуля. Поэтому, если поведение модели в послевыборочном периоде сравнимо с ее поведением в период выборки, на которой она была получена (тогда модель устойчива), то мы можем считать, что ошибка предсказания (или прогноза) также значимо не отличается от нуля. Поскольку послевыборочное значение нам неизвестно, то устойчивость модели можно проверить по ее стабильности в результате присоединения нескольких последних наблюдений.

Предложим следующий тест на устойчивость регрессионной модели. Ограничим период выборки так, чтобы у нас осталось несколько последних наблюдений. Пусть - объем ограниченной выборки, - объем всей выборки. Оцениваем уравнение регрессии сначала для первых наблюдений («короткая» регрессия), затем – вместе с этим набором для всей выборки («длинная» регрессия). Пусть - объясненная сумма квадратов, - необъясненная (остаточная) сумма квадратов «короткой» регрессии. Аналогично и - объясненная и остаточная суммы квадратов «длинной» регрессии. Так как , то, очевидно, . Разность имеет степеней свободы и объясняет суммарный вклад последних наблюдений в «длинную» регрессию. Тогда и разность имеет степеней свободы. Рассмотрим отношение разности в расчете на одну степень свободы к остаточной сумме квадратов «длинной» регрессии в расчете на одну степень свободы

. (9.20)

Полученная статистика имеет -распределение с числами степеней свободы и .

Выдвигаем нулевую гипотезу : коэффициенты регрессии стабильны. Если

, (9.21)

то мы отвергаем нулевую гипотезу в пользу альтернативной гипотезы и делаем вывод, что в период времени произошла структурная перестройка модели. Это будет означать, что прогнозная способность модели является неудовлетворительной, и мы должны придать больший вес последним наблюдениям, скорректировав модель с учетом структурных изменений (см. § 6.4). Если же неравенство (9.21) не выполняется, то у нас нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу о стабильности коэффициентов регрессии. Мы считаем, что последние наблюдения (а значит, и послевыборочные наблюдения) не вносят существенных изменений в поведение регрессионной модели. Модель признается устойчивой и ее можно использовать для прогнозирования.