- •1. Пространства r n и с n , их элементы- векторы. Операции над векторами в r n и с n свойства.
- •2. Линейные комбинации векторов, линейная оболочка системы векторов. Определение подпространства.
- •3.Линейная зависимость и независимость системы векторов. Основные леммы о линейной зависимости.
- •4. Теорема о замене.
- •5.Базис линейного пространства, теоремы, размеренность линейного пространства. Базис системы векторов, ранг системы векторов.
- •6. Скалярное произведение в r n и с n ,его основные свойства. Длина (норма) вектора.
- •11. Сумма подпространства. Теорема о размеренности суммы подпространств.
- •13. Эквивалентные системы, элементарные преобразования уравнений. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений.
- •15. Строчечный и столбовой ранги системы. Теорема Кронкера-Капелли.
- •19. Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.
- •20. Определители и их основные свойства.
- •24.Разложение определителей по строке, по столбцу.
- •26. Формула Крамера для корней линейной системы уравнений.
- •27. Собственные векторы и собственные числа линейного оператора.
- •29.Эквивалентность двух определений сходимости последовательности в r n .
- •30.Теорема Больцано-Вейршстраса о выборе сходящейся подпоследовательности.
- •31.Предел функции нескольких переменных. Арифметика пределов.
- •32.Замкнутые и открытые множества. Компакт.
- •41. Вторая производная. Равенство смешанных производных. Производная n-го порядка.
- •42. Локальный экстремум. Необходимые условия.
- •43. Формула Тейлора. Достаточное условие достижения экстремума.
- •44. Схема решений задач на условный экстремум.
- •4. Теорема о замене.
31.Предел функции нескольких переменных. Арифметика пределов.
Пусть D входит в Rn,M0 € D и дана функция ∫:D→ R. Говорят, что предел функции при М→М0 равен А, (lim ∫(М)=А)., если для любого ε>0 существует δ>0 такое, что |∫(М)-А|<ε для всех М€D∩Uδ , где Uδ –окрестность точки М0.
Эквивалентное определение предела через последовательность заключается в следующем. Предел функции ∫ при М→М0 равен А, если для любой послед-и точек М сходящейся к М0 при k→∞, последовательность ∫(Мк)→А при k→∞.
Арифметика пределов. Пусть даны функции ∫,g: D→R и существует пределы lim ∫(М)=А(М→М0), lim g(M)=B (М→М0).Тогда:
1. lim (f(M)-+g(М)=А+В М→ М0
Пусть ε>0, тогда для ε'=ε/2 существует из δ'иδ'' определения для функции ∫,g. Положим δ=min(δ';δ''). Тогда для всех М из δ-окрестности точки М0 имеем: |∫(М) ± g(М)|-(А±В)|=|∫(М)-А| ±|g(М)-В|≤|∫(М)-А|+|g(М)-В| < ε/2+ε/2 = ε
2. lim (∫(М)g(М))=АВ
М→М0
|∫(М)g(М)-АВ|=|(∫(М)-А)(g(М)-В)+В∫(М)+Аg(М)-2АВ|=|(∫(М)-А(g(М)-В)+В(∫(М)-А)+А(g(М)-В)|≤|(∫(М)-А)||(g(М)-В|+|В||∫(М)-А|+|А|g(М)-В|→0 при М→ М0
3. , (М→М0), если g≠0 в некоторой окрестности точки М0
4. Следует из предыдущих:
32.Замкнутые и открытые множества. Компакт.
Множество Uвходит Rn называется открытым, если U содержит каждую свою точку вместе с некоторой ε – окрестностью. Пусть F входит Rn. Точка М называется точкой прикосновения множества F, если всякая ее окрестность U имеет непустое пересечение с F. Множество F называется замкнутым, если оно содержит все свои точки прикосновения. Дополнением множества U входит Rn называется множество CU = R» \ U = {х € R» | х не € U). Заметим, что CCU = U для любого множества U.
Теорема 1. Множество U открыто, значит о его дополнение CU замкнуто.
Пусть U открыто. Пусть М — точка прикосновения U, то есть всякая ее окрестность V имеет непустое пересечение с CU. Тогда никакая окрестность М не лежит целиком в U, поэтому М не € U, то есть М € CU. Отсюда CU замкнуто.
Обратно, пусть CU замкнуто и М € U. Тогда существует окрестность V точки М, не имеющая пересечения с CU (так как если любая окрестность точки М пересекается с CU, то М — точка прикосновения CU, значит М € CU — противоречие). Эта окрестность целиком лежит в U – CCU, то есть U открыто.
Следствие Множество F замкнуто и его дополнение CF открыто.
Теорема 2. 1. Объединение любого числа открытых множеств открыто. 2. Пересечение конечного числа открытых множеств открыто.
1. Пусть М — точка из объединения. Тогда она лежит в одном из множеств. Но оно открыто, значит она лежит в нем вместе с некоторой окрестностью V. Но тогда эта окрестность содержится и в объединении.
2. Пусть М — точка из пересечения. Тогда она лежит во всех множествах. Но каждое множество открыто, значит А/ лежит в них вместе с шаровыми окрестностями И. Но тогда существуем шар V, лежащий во всех шарах Vi. Тогда эта окрестность V содержится и в пересечении.
Следствие 1. Пересечение любого числа замкнутых множеств замкнуто. 2. Объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто.
< Следует из теорем 1 и 2. >
Множество К называется компактом, если оно замкнуто и ограничено.