- •1. Пространства r n и с n , их элементы- векторы. Операции над векторами в r n и с n свойства.
- •2. Линейные комбинации векторов, линейная оболочка системы векторов. Определение подпространства.
- •3.Линейная зависимость и независимость системы векторов. Основные леммы о линейной зависимости.
- •4. Теорема о замене.
- •5.Базис линейного пространства, теоремы, размеренность линейного пространства. Базис системы векторов, ранг системы векторов.
- •6. Скалярное произведение в r n и с n ,его основные свойства. Длина (норма) вектора.
- •11. Сумма подпространства. Теорема о размеренности суммы подпространств.
- •13. Эквивалентные системы, элементарные преобразования уравнений. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений.
- •15. Строчечный и столбовой ранги системы. Теорема Кронкера-Капелли.
- •19. Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.
- •20. Определители и их основные свойства.
- •24.Разложение определителей по строке, по столбцу.
- •26. Формула Крамера для корней линейной системы уравнений.
- •27. Собственные векторы и собственные числа линейного оператора.
- •29.Эквивалентность двух определений сходимости последовательности в r n .
- •30.Теорема Больцано-Вейршстраса о выборе сходящейся подпоследовательности.
- •31.Предел функции нескольких переменных. Арифметика пределов.
- •32.Замкнутые и открытые множества. Компакт.
- •41. Вторая производная. Равенство смешанных производных. Производная n-го порядка.
- •42. Локальный экстремум. Необходимые условия.
- •43. Формула Тейлора. Достаточное условие достижения экстремума.
- •44. Схема решений задач на условный экстремум.
- •4. Теорема о замене.
44. Схема решений задач на условный экстремум.
Условный экстремум находится, когда переменные х и у, входящие в функцию u = f( x, y), не являются независимыми, т.е. существует некоторое соотношение
(х, у) = 0, которое называется уравнением связи.
Тогда из переменных х и у только одна будет независимой, т.к. другая может быть выражена через нее из уравнения связи.
Тогда u = f(x, y(x)).
В точках экстремума:
=0 (1)
Кроме того:
(2)
Умножим равенство (2) на число и сложим с равенством (1).
Для выполнения этого условия во всех точках найдем неопределенный коэффициент так, чтобы выполнялась система трех уравнений:
Полученная система уравнений является необходимыми условиями условного экстремума. Однако это условие не является достаточным. Поэтому при нахождении критических точек требуется их дополнительное исследование на экстремум.
Выражение u = f(x, y) + (x, y) называется функцией Лагранжа
4. Теорема о замене.
Пусть система a1,a2,…ak-линейно независима
b1,b2,…be- линейно независима, b≤k
Док-во:
1) l=1 <a>:a1,a2,…ak
<b>: b≠(ноль с чертой с верху)
b,a2,a3….ak -
a1,b,a3….ak - Предположим, что ни одна из систем не является л.н.
a1,a2,b,…ak -
а1,а2, а3 …b -
Система a1,a2,…ak – л.н. по лемме 1
По лемме 2- b является линейной комбинацией векторов
b=0*a1+β21a2+…+ βk1ak
b=β12a1+0* a2+ β32a3 +…+ βk2ak
b=β13a1+ β23a2 + 0* a3+…+ βk3ak
b=β1ka1+ β2ka2+ β3ka3 +…+ βkkak
По лемме 3 представление b-единственно<=> все β=0 => b=0
a1…+0*ak =(ноль с чертой сверху)- мы получили противоречие,
значит хотя бы ┴(ортогональная) система является л.н. Для l=1 теор. доказана.
2)Предположим, что для l теорема о замене имеет место b1b2…bebe+1 e+1≤k
b1b2…bebe+1ae+1ae+2…ak - линейно независима.
Предположим, что
b1b2…beae+1ae+2…ak - л.з.
b1b2…beae+1be+2…ak – линейно зависима
b1b2…beae+1ae+2…be+1 – л.з.
be+1= α1b1+ α2b2+…+ αebe+0*ae+1 + βe+2ae+2 + βe+3ae+3+…+βkak
be+1 = α1b1+ α2b2+…+ αebe+ βe+1ae+1+ 0*ae+2 + βe+3ae+3+…+βkak
be+1 = α1b1+ α2b2+…+ αebe+ αe+1ae+1+ …+0*ak
be+1 = α1b1+ α2b2+…+ αebe+0* ae+1+0* ae+2+…+
Мы получили противоречие, т.к. линейная комбинация =>
имеет линейно зависимую систему, что противоречит условию.