- •1. Пространства r n и с n , их элементы- векторы. Операции над векторами в r n и с n свойства.
- •2. Линейные комбинации векторов, линейная оболочка системы векторов. Определение подпространства.
- •3.Линейная зависимость и независимость системы векторов. Основные леммы о линейной зависимости.
- •4. Теорема о замене.
- •5.Базис линейного пространства, теоремы, размеренность линейного пространства. Базис системы векторов, ранг системы векторов.
- •6. Скалярное произведение в r n и с n ,его основные свойства. Длина (норма) вектора.
- •11. Сумма подпространства. Теорема о размеренности суммы подпространств.
- •13. Эквивалентные системы, элементарные преобразования уравнений. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений.
- •15. Строчечный и столбовой ранги системы. Теорема Кронкера-Капелли.
- •19. Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.
- •20. Определители и их основные свойства.
- •24.Разложение определителей по строке, по столбцу.
- •26. Формула Крамера для корней линейной системы уравнений.
- •27. Собственные векторы и собственные числа линейного оператора.
- •29.Эквивалентность двух определений сходимости последовательности в r n .
- •30.Теорема Больцано-Вейршстраса о выборе сходящейся подпоследовательности.
- •31.Предел функции нескольких переменных. Арифметика пределов.
- •32.Замкнутые и открытые множества. Компакт.
- •41. Вторая производная. Равенство смешанных производных. Производная n-го порядка.
- •42. Локальный экстремум. Необходимые условия.
- •43. Формула Тейлора. Достаточное условие достижения экстремума.
- •44. Схема решений задач на условный экстремум.
- •4. Теорема о замене.
15. Строчечный и столбовой ранги системы. Теорема Кронкера-Капелли.
Минором матрицы порядка r называется определеитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении любых r строк и r столбцов матрицы.
Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров. Т.е. если у матрицы порядка (m, n) есть отличный от нуля минор порядка r, r≤ min(m, n), а все миноры более высоких порядков равны нулю, то r — ранг матрицы.
Строки и столбцы матрицы, рассматриваемые как элементы (векторы) соответствующих пространств арифметических векторов обладают всеми свойствами арифметических векторов, для них определены понятия линейной зависимости и линейной независимости и справедливы все, утверждения для линейно зависимых и линейно независимых систем векторов линейного пространства.
Строчечный ранг матрицы - максимальное число л. Н. строк матрицы. Столбцовый ранг м-цы - максимальное число л. Н. столбцов матрицы.
Ранг системы векторов совпадает с линейной оболочкой.
Теорема. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда столбцовый ранг основной матрицы системы совпадает со столбцовым рангом расширенной системы.
Доказательство. Пусть А=[a1¯…an¯]. Система Ax¯=b¯совместна тогда и только тогда, когда b¯€ F(a1¯,…,an¯).
b¯€ F(a1¯,…,an¯)=> F(a1¯,…,an¯)= F(a1¯,…,an¯b¯)=>dim F(a1¯,…,an¯)=dim F(a1¯,…,an¯b¯)=>rangA=rangA¯.
b) b¯не принадлежит F(a1¯,…,an¯).=> F(a1¯,…,an¯) ≠ F(a1¯,…,an¯b¯). Так как пространство F(a1¯,…,an¯).является подпространством пространства F(a1¯,…,an¯b¯), но не совпадает сним, то его размерность строго меньше размерности пространства F(a1¯,…,an¯b¯), согласно тому что Если L – подпространство кнечномерного векторного пространства V, то Lтакже конечномерно, dimL=<dimV и L=VdimL=dimV, следовательно rangA< rangA¯. чтд
dim – диаметр
rang - ранг
Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.
RgA = RgA*.
Очевидно, что система (1) может быть записана в виде:
x1 + x2 + … + xn
Доказательство.
1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход АА* не изменяют ранга.
2) Если RgA = RgA*, то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор (Дополнительный минор произвольного элемента квадратной матрицы aij равен определителю матрицы, полученной из исходной вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.Определение. В матрице порядка mn минор порядка r называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка r+1 и выше равны нулю, или не существуют вовсе, т.е. r совпадает с меньшим из чисел m или n.). Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше.
16. Теорема о равенстве строчного и столбового равенства матрицы.
Строчный ранг матрицы совпадает со столбцовым, т.е. rang стрA=rang столбА.
Доказательство.
Rang столб – максимальное число линейно независимых столбцов матрицы.
Ax=0 rang стр=r. Столбцы, в которых стоят ведущие элементы линейно независимы.
r столб. A>=r стр. А предположим, что r стб>r стр.; r+1 – линейно независимых столбиков есть ненулевой набор
Л1[ ]+Л2 [ ]+….= [ ]