1. Генеральная и выборочная совокупности. Варианта и вариационный ряд. Статистическое распределение выборки.

Рассмотрим n объектов, каждый из которых имеет свое значение измеряемого параметра. Общее количество объектов составляет генеральную совокупность. В некоторых случаях неудобно или невозможно получить результаты измерений на всех объектах и поэтому отбирают для проверки определенную часть из этой генеральной совокупности – выборку или выборочную совокупность. Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называют число ее объектов. Повторной называют выборку, при которой объект перед отбором следующего возвращается в генеральную совокупность. Бесповторной называют выборку, при которой отобранный объект не возвращается в генеральную совокупность. В некоторых случаях результаты выборки зависят не только от ее объема, но и от способа отбора объектов. Иногда такой отбор отражает, а иногда не отражает соотношения в генеральной совокупности. Если выборка правильно отражает соотношения в генеральной совокупности, то ее называют репрезентативной (представительной).

Пусть из генеральной совокупности извлекается выборка. При этом значение х₁ наблюдалось n₁ раз, х_{2 -} n₂ раз и т.д., х_k наблюдалось n_k раз. Общий объем выборки можно определить как

Наблюдаемое значение x_i называется вариантной, а их последовательность, записанная в возрастающем или убывающем порядке, - вариационным рядом. Число наблюдений n_i называется частотой, а значение его отношения к объему выборки – относительной частотой: w_i= Частоты и относительные частоты называют весами.

Накопленная частота x_iнак показывает, сколько наблюдалось вариант со значением признака <x. Отношение накопленной частоты к общему числу наблюдений – накопленная относительная частота w_iнак Накопленная частота (накопленная относительная частота) для каждого интервала находится суммированием частот (относительных частот) всех предшествующих интервалов, включая данный.

Для задания вариационного ряда достаточно указать варианты и соответствующие им частоты (относительные частоты) или накопленные частоты (накопленные относительные частоты). Вариационный ряд называется дискретным, если соседние его варианты отличаются на постоянную конечную величину, непрерывным (интервальным) – если варианты отличаются одна от другой на сколь угодно малую величину.

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант вариационного ряда и соответствующих им частот (сумма всех частот равна объему выборки) или относительных частот (сумма равна 1). Статистическое распределение выборки можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (в качестве частоты интервала принимают сумму частот вариант, попавших в этот интервал).

2. Полигон частот и гистограмма частот и относительных частот. Эмпирическая функция распределения. Выборочная плотность распределения.

Для графического изображения вариационного ряда используются полигон, гистограмма, кумулятивная кривая.

Полигоном называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x_i, n_i) или (x_i, w_i), соответственно полигон частот или относительных частот. Полигон, как правило, служит для изображения дискретного вариационного ряда.

Гистограмма служит для изображения интервального вариационного ряда и представляет собой ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников с основаниями, равными интервалам значений признака h_i=x_i+1-x_i (i=1, 2, …m), и высотами, равными отношению частот (относительных частот) к h_i – n_i/h_i (w_i/h_i).Если соединить середины верхних оснований прямоугольников отрезками, то можно получить полигон того же распределения. Величина n_i/h_i (w_i/h_i ) называется плотностью частоты (плотностью относительной частоты). Площадь гистограммы равна сумме всех частот или относительных частот, т. е. соответственно объему выборки n или 1.

Нет в вопросе - Кумулятивная кривая (кумулята) – кривая накопленных частот (накопленных относительных частот). Для дискретного ряда кумулята представляет собой ломаную, соединяющую точки (x_i, n_iнак) или (x_i, w_iнак) (i=1, 2, …m). Для интервального ряда ломаная начинается с точки, абсцисса которой равна началу первого интервала, а ордината равна 0. Другие точки этой ломаной соответствуют левым концам интервалов.

Эмпирической функцией распределения F_n(x) называется накопленная частота (накопленная относительная частота) того, что признак (случайная величина х) примет значение <x, т. е. F_n(x)=w(X<x)=w_{x нак} . Другими словами, для заданного значения х эмпирическая функция распределения представляет накопленную относительную частоту w_{x нак} = Эмпирическая функция обладает свойствами: 1)значения эмпирической функции принадлежат отрезку [0; 1]; 2) F_n(x) – неубывающая функция; 3)если х₁ – наименьшая варианта, а x_k – наибольшая, то F_n(x)=0 при x<x₁ и F_n(x)=1 при x>x_k.

Статистическая плотность распределения: f*(x)= w_x/∆x = , где p_i*= - статистическая вероятность или относительная частота.