7Математический реализм

Многие современные философы склонны думать, что математические объекты – лишь мысленные конструкции и, в отличие от объектов физических, не связаны каким-либо обязательным отношением к реальности. Считается, что, обладая логической определенностью, они не имеют отношения к отражению свойств и отношений реального мира. Такое воззрение защищал в начале прошлого века Л. Брауэр, который утверждал, что математические понятия – лишь конструкции на основе априорной интуиции времени: если бы человечество вымерло, писал он, то физические зависимости продолжали бы существовать, но не осталось бы никаких собственно математических законов. Близкое воззрение на природу объектов математики излагает К. Поппер в книге «Объективное знание»: «Я полагаю (в отличие от Кронекера), что даже натуральные числа суть произведение людей, продукт человеческого языка и человеческой мысли» [Поппер 2002, 159–160]. Это точка зрения конвенционализма и конструктивизма.

 Однако уже со времен пифагорейцев и Платона существует другое, прямо противоположное воззрение на природу математических объектов. Математические объекты, по крайней мере, такие как числа и фигуры понимаются не как конструкции разума, а как отражение глубинных форм окружающего нас мира. Сильный довод в пользу этого воззрения состоит в том, что удаленные друг от друга древние цивилизации строили математику на одних и тех же понятиях, которые не утратили своего значения до настоящего времени. Размышления над такого рода фактами приводят нас к выводу, что математические представления не произвольны, а отражают отношения, принадлежащие самой структуре мира. «Математика, – писал Г. Штейнгауз, – не шахматная игра, правила которой могут быть изменены по нашему произволу, поскольку ее принципы отражают реальность» [Штейнгауз 1974, 111]. Это точка зрения платонизма или математического реализма.

8Номинализм в математике

Идея исключения абстракций стала одной из центральных идей современного математического номинализма — особой точки зрения на основания математики, возникшей в начала XX в.в Польше (С. Лесьневский, Л. Хвистек, Т. Котарбиньский, А. Тарский и др.), США (Н. Гудмен, У. Куайн, Л. Генкин, Р. Мартин) и в др. странах в ответ на известное возрождение платонизма в концепциях теории множеств, в особенности на ничем не ограниченное введение абстракций как сущностей (см. Абстракции принцип), которое ведёт к парадоксам.

Математические номиналисты предприняли ряд попыток построить математику без парадоксов, основываясь на идее использования формальных систем (формальных языков), в терминах которых удаётся выразить многие абстракции математики и таким образом исключить их, заменив соответствующей «языковой моделью». Логика, лежащая в основе этих систем, понимается при этом в духе номиналистической традиции: существуют («первично», «сами по себе», вне мышления и речи) только чувственно воспринимаемые индивиды, и только они (их собственные имена или дескрипции) могут быть значениями предметных переменных логического языка, образуя истинный «универсум рассуждения» (предметную область) любой научной теории. Поэтому единственной приемлемой с точки зрения номинализма логикой является узкое исчисление предикатов (см. Логика предикатов). Номиналистическая программа в известной мере обосновывается теоремой Крейга об устранимости абстрактных терминов из языка любой научной теории ^[2], однако полная практическая реализация этой программы представляется неосуществимой.

( полезно прочесть http://z3950.ksu.ru/full_fond/books/klass/011/137-143.pdf )