Лабораторная работа №4

4

ГОСКОМВУЗ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

СПбГЭТУ

КАФЕДРА ТОЭ

Моделирование магнитного поля тока, текущего в тороидальном проводнике, при резком поверхностном эффекте.

Отчет по лабораторной работе №4

Студент гр.4221 Шамин Д. А.

Преподаватель Ильченко В. В.

1996

Моделирование магнитного поля тока, текущего в тороидальном проводнике, при резком поверхностном эффекте.

Цель работы: исследование магнитного поля проводника методом электромоделирования.

Основные теоретические положения.

Объектом исследования является проводник тороидальной формы, обтекаемый переменным током с действующим значением I (рис. 1а). Предполагается, что в проводнике имеет место резкий поверхностный эффект. Глубина проникновения D значительно меньше радиуса сечения, ток и магнитное поле сосредоточены в поверхностном слое конечной толщины порядка нескольких D.

На поверхности идеального проводника граничные условия для магнитного поля имеют вид:

(*) [ n H] = K ; n B =0, где К - вектор плотности поверхностного тока.

Можно считать, что на поверхности хорошего (но не идеального) проводника при резком поверхностном эффекте также выполняются данные условия. Однако теперь под величиной К следует понимать плотность эффективного поверхностного тока (“настил тока”), т.е. проинтегрированную по нормали вглубь проводника объемную плотность J.

Из формулы (*) следует важный вывод: на поверхности исследуемого проводника вектор Н имеет только касательную составляющую, перпендикулярную К, т.е. направлению тока. Векторная линия поля Н совпадает с окружностью - контуром сечения проводящего тора.

В пространстве, окружающем проводник, в квазистатическом приближении. Когда токами смещения можно пренебречь, магнитное поле описывается уравнениями: rot H =0 ; div B = 0 ; H = - grad U_m ; B = m H , (**) где U_m - скалярным магнитный потенциал.

В плоскости симметрии тора, часть которой на рис. 1а заштрихована, магнитное поле имеет только нормальную составляющую. Здесь можно ввести условную перегородку и считать, что на ней распологаются точки истока и стока линий поля (рис. 1б). Перегородка является поверхностью разрыва потенциала, так как для двух любых бесконечно близких и разделенных ею точек U_m1 - U_m2 » ó H dl = I.

õ

Следовательно, можно полагать, что во внутренней области тора находиться двойной слой фиктивных магнитных зарядов постоянной плотности.

Обсудим теперь вопрос электромоделирования магнитного поля тора. Основные уравнения поля постоянного тока в проводящей среде (вне источников): rot E =0 ; div J = 0 ; E = - grad U ; J = g E (***).

Сопоставляя выражения (**) и (***), можно сделать вывод: соответствующие магнитные поля математически аналогичны. Система )**) переходит в (***) и обратно при простой замена аналогичных величин: H«E , B«J , U_m«U , m«g.

Задачу исследования магнитного поля можно свести к задаче исследования математически аналогичного поля тока. При этом должно быть выполнено подобие краевых условий для аналогичных величин.

В связи с этим можно предложить следующий способ построения модели. Тороидальный проводник с током I заменяется геометрически подобным диэлектрическим тором, который помещается в электролитическую ванну. Ля возбуждения тока во внутренней области тора располагается двойной электрический слой постоянной мощности. Его физическая реализация - металлизированная с двух сторон диэлектрическая пластина, к которой приложено напряжение U₀.

Очевидно, что краевые условия этой модели подобны краевым условиям исходной задачи. Векторная линия поля E совпадает с контуром сечения диэлектрического тора. В плоскости симметрии электрическое поле имеет только нормальную составляющую (рис. 2)

Электрическим эквипотенциалям модели U = const соответствуют магнитные эквипотенциали U_m = const поля проводника, а векторным линиям E -линии H.

Экспериментальная установка.

Схема установки приведена на рис. 3. В силу симметрии задачи модель состоит из половины диэлектрического тора и пластины с двумя электродами, имитирующей двойной электрический слой.

Распределение потенциала поля модели находятся с помощью вольтметра. Зонд подключается к потенциальному зажиму, а заземленный зажим вольтметра соединяется с точкой А.

Эквипотенциали U = 0 и U = U₀ являются два электрода пластины. Остальные эквипотенциали поля с заранее выбранным шагом DU = U₀/n , где n - число потенциальных перепадов. Напряженность электрического поля в любой ячейке поля модели E = DU_m/a = (U_m1 -U_m2)/n a = I/n a . Отсюда следует, что H = E I/U₀ . Данное соотношение позволяет определить значение поля H проводника с заданным током I по экспериментально найденному значению поля Е модели. На поверхности проводника H=K.

Следствие математической аналогии постоянного во времни (квазистатического) магнитного поля и поля постоянного тока является связь индуктивности L тороидального проводника и проводимости G модели: L = G m/g.

Проводимость модели - это проводимость объемного проводника (воды) в электролитической ванне относительно электродов пластины. Для экспериментального определения G в схему включен последовательный резистор R (см. рис. 3). Измерив напряжение U_AB , можно определить ток модели I₀ = U_AB/R , а затем проводимость G =I₀/U₀.

В работе исследуется также магнитное поле тороидального проводника с металлическим сердечником. В этом случае модель дополниться диэлектрическим цилиндром.

Расчеты.

1. Картины электрического поля модели и магнитного поля проводника смотри на вкладыше. При построении векторных линий было учтено, что поле является аксиально-симметричным.

2. Настил тока в тороидальном проводнике при I = 100 A.

К=Н на поверхности проводника. K=Н=I/n a = 444 A/м

3. Расчет индуктивности: а) для свободного проводника:

L =Gm/g, где G = I₀/U₀; I₀ = U_AB/R = A; m=1.26 10^-6 Н с² /Кл²

L = Гн g=10^-2 См/м

б) для проводника с сердечником:

I₀ = A ; L = Гн

В расчетах учитывалось, что действительная величина G в 2 раза больше экспериментальной, т.к. модель построена для половины тора.

Вывод.

В данной работе мы исследовали магнитное поле проводника тороидальной формы методом электромоделирования. Убедились, что векторная линия поля Н совпадает с окружностью - контуром сечения проводящего тора, поле постоянного тока математически аналогично магнитному полю. Так же рассчитали настил тока К и индуктивность L для двух случаев: свободный проводник и проводник с сердечником.