ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет

"ЛЭТИ" имени В.И. Ульянова (Ленина)»

Кафедра МО ЭВМ

Индивидуальное задание № 1

по дисциплине «Теория вычислительных процессов»

Часть 1

СПОСОБЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИИ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ

Вариант 13

Выполнил студент группы 4351 Довбыш А.А.

Руководитель Красюк В.И.

Санкт-Петербург

2007 г

Содержание

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ № 1 0

Выполнил студент группы 4351 Довбыш А.А. 0

Санкт-Петербург 0

1. Общие сведения о булевых функциях 2

2. Аналитическое представление булевых функций 2

2.1. СДНФ 2

2.2. СКНФ 3

2.3. Алгебра Жегалкина 3

3. Табличное (матричное) представление булевых функций 4

3.1. Таблица истинности 4

3.2. Прямоугольная таблица 5

3.3. Диаграмма Вейча 5

4. Графическое представление булевых функций 6

Список литературы 7

1. Общие сведения о булевых функциях

Булевы функции названы в честь английского математика ХIХ века Дж. Буля, который впервые применил алгебраические методы для решения логических задач. Они образуют самый простой нетривиальный класс дискретных функций - их аргументы и значения могут принимать всего два значения - 0 или 1. С другой стороны, этот класс достаточно богат и его функции имеют много интересных свойств. Булевы функции находят применение в логике, электротехнике, многих разделах информатики.

Обозначим через B двухэлементное множество {0,1}, а через Bn - множество всех двоичных последовательностей (наборов, векторов) длины n. Булевой функцией от n переменных (аргументов) называется любая функция f(x1, xn): Bn --> B . Каждый из ее аргументов xi, 1 ≤ i ≤ n , может принимать одно из двух значений 0 или 1 и значением функции на любом наборе из Bn также может быть 0 или 1. Обозначим через Pn множество всех булевых функций от n переменных. Нетрудно подсчитать их число: |Pn| = .

Имеется несколько различных способов представления и интерпретации булевых функций:

1) аналитический (СДНФ, СКНФ, многочлен Жегалкина);

2) табличный (таблица истинности, прямоугольная таблица, диаграмма Вейча)

3) графический (гиперкуб).

2. Аналитическое представление булевых функций

При аналитическом способе булева функция задается формулами, т. е. аналитическими выражениями, построенными на основе операций булевой алгебры. Аналитический способ задания булевых функций занимает особое место в проектировании цифровых автоматов. Фактически, все преобразования над булевыми функциями, необходимые для построения цифровых автоматов, ведутся на аналитическом уровне.

Рассмотрим области определения булевых функций. Как уже отмечалось, между двоичными наборами и двоичными числами существует взаимно однозначное соответствие.

2.1. Сднф

Поскольку между множеством аналитических представлений и множеством схем, реализующих булеву функцию, существует взаимнооднозначное соответствие, отыскание канонической форм представления булевой функции является начальным этапом синтеза схемы, ее реализующей. Наиболее широкое распространение получила совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ). Прежде чем перейти к её рассмотрению, приведем определение конституанты единицы: конституанта единицы - функция f(x1, x2, ... xn) принимающая значение 1 только на единственном наборе.

Конституанта единицы записывается как логическое произведение n различных булевых переменных, некоторые из них могут быть с отрицаниями. Ели вспомнить, что дизъюнкция равна 1, когда хотя бы одна из переменных принимает значение 1, то можно легко выразить любую булеву функцию как дизъюнкцию конституант единицы, соответствующих тем наборам, на которых функция равна 1.

Эта форма и есть СДНФ. Заметим, что наборы, на которых функция f принимает значение 1, часто называются единичными, остальные - нулевыми наборами. Выписывать в СДНФ имеет смысл только конституанты единицы, соответствующие единичным наборам.

Для функции T={0, 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 31}

СДНФ будет выглядеть следующим образом: