ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет

"ЛЭТИ" имени В.И. Ульянова (Ленина)»

Кафедра МО ЭВМ

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ № 1

по дисциплине «Теория вычислительных процессов»

Часть 2

МИНИМИЗАЦИЯ БУЛЕВСКОЙ ФУНКЦИИ

ПО МЕТОДУ КВАЙНА - МАК-КЛАССКИ

Вариант 13

Выполнил студент группы 4351 Довбыш А.А.

Руководитель Красюк В.И.

Санкт-Петербург

2007 г

Содержание

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ № 1 0

Выполнил студент группы 4351 Довбыш А.А. 0

Санкт-Петербург 1

1. Формальная постановка задачи минимизации булевской функции 3

2. Минимизация функции с помощью процедуры Квайна - Мак-Клаcки 4

Список литературы 0

1. Формальная постановка задачи минимизации булевской функции

Минимальной формой булевской функции называется такая форма, которая содержит количество символов, не превышающее количество символов в любой другой форме.

В общем случае минимальных форм может быть несколько.

Минимальную форму ищут в форме дизъюнкции простых импликант неизбыточной системы простых импликант. Для этого сначала определяют систему простых импликант исходной функции, а затем удаляют из неё избыточные элементы.

Для построения системы простых импликант используют теоремы Квайна и Мак-Класски или численную процедуру минимизации на гиперкубах. Эти методы основаны на склеивании элементов, являющихся ближайшими соседями.

Вспомогательные характеристики конституант единицы, используемые в теоремах Квайна и Мак-Класски:

1) | x_e | = – десятичное представление двоичного набора.

2) index( x_e ) =

3) _lp = abs ( | x_l | – | x_p | ) – разность

Теорема Квайна: Для того чтобы 2 конституанты единицы склеивались необходимо и достаточно, чтобы:

1) | index (x_l ) - index (x_p )|=1

2) _lp = 2^k , kZ⁺

3) | x_l | > | x_p |  index (x_l ) > index (x_p )

Теорема Мак-Класски:

Необходимыми и достаточными условиями склеивания импликант произвольного уровня являются:

1) Равенство последовательностей разностей

2) Возможность склеивания младших конституант единицы в склеиваемых импликантах.

Предполагается, что функция задана первоначально в СДНФ. Метод Квайна - МакКласски основан на применении двух операций, называемых операциями склеивания и поглощения и выполняемых над некоторыми парами конъюнкций.

Закон склеивания: ( F & x )  ( F & x ) = F

Закон поглощения: ( F & G)  G = G

2. Минимизация функции с помощью процедуры Квайна - Мак-Клаcки

Рассматриваемый метод состоит из следующих шагов:

1. Упорядочиваются двоичные минтермы (или кубы 0-ранга) в группы в соответствии с числом единиц ( m ), содержащихся с их коде (m - индекс группы).

2. Группы располагаются в порядке возрастания m, начиная с m = 0 (нулевой набор).

3. Производится попарное сравнение кубов из группы с индексом m с кубами из группы с индексом m+1.

4. Если сравниваемые кубы различаются только в одном разряде, то в в следующую таблицу записывается куб следующего уровня, включающий данные кубы. Также отмечается разряд, в котором различаются кубы.

5. Все кубы, участвовавшие в склеивании, помечаются.

6. После выполнения склеивания выполняется поглощение одинаковых кубов ( два и более одинаковых куба заменяются одним ).

7. Пункты 3-6 повторяются для всех групп в порядке возрастания m, а затем для кубов последующих рангов до тех пор, пока не закончатся претенденты на склеивание. Все непомеченные кубы определяют простые импликанты.

T={0, 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 31}

Набор непокрывающих друг друга импликант:

[ 0,1,4,5,8,9,12,13,16,17,20, 21,24,25,28,29 ] (1)(4)(8)(16)	X0ХXX
[1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21, 23,25,27,29,31] (2)(4)(8)(16)	1ХXXX
[ 24, 25, 26, 27 ] (1)(2)	ХX011

- неприведенная система простых импликант

8. Выявляются существенные импликанты.

Для этого используется таблица импликант (или таблицы покрытий). Таблица содержит столько строк, сколько получено простых импликант и столько столбцов, сколько минтермов содержит функция. Минтермы и импликанты вписывают соответственно в стобцы и строки. Если данная импликанта образована при склеивании рассматриваемого минтерма, то на пересечении соответствующих строки и столбца ставится метка "+". Говорят, что данная импликанта покрывает данный минтерм. Если какая-либо метка оказывается в столбце единственной, то строка с этой меткой вычеркивается, очевидно, что ей соответствует существенная импликанта. Существенные импликанты образуют ядро функции.

Далее вычеркиваются столбцы, которые содержат метки в строках существенных импликант.

T={0, 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 31}

0

1

3

4

5

7

8

9

11

12

13

15

16

17

19

20

21

23

24

25

26

27

28

29

31

_ _ _ _ _ X1X2X3X4X5

_ _ _ _ X1X2X3X4X5

_ _ _ X1X2X3X4X5

_ _ _ _ X1X2X3X4X5

_ _ _ X1X2X3X4X5

_ _ X1X2X3X4X5

_ _ _ _ X1X2X3X4X5

_ _ _ X1X2X3X4X5

_ _ X1X2X3X4X5

_ _ _ X1X2X3X4X5

_ _ X1X2X3X4X5

_ X1X2X3X4X5

_ _ _ _ X1X2X3X4X5

_ _ _ X1X2X3X4X5

_ _ X1X2X3X4X5

_ _ _ X1X2X3X4X5

_ _ X1X2X3X4X5

_ X1X2X3X4X5

_ _ _ X1X2X3X4X5

_ _ X1X2X3X4X5

_ _ X1X2X3X4X5

_ X1X2X3X4X5

_ X1X2X3X4X5

_ _ X1X2X3X4X5

X1X2X3X4X5

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

Как видно из таблицы все простые импликанты являются существенными. Таким образом, приведенная система простых импликант будет совпадать с неприведенная системой простых импликант.

- приведенная система простых импликант.

Список литературы

1. Графы и алгоритмы. Структуры данных. Модели вычислений

Алексеев В.Е., Таланов В.А.

2. Графы и их применение. Комбинаторные алгоритмы для программистов

Костюкова Н.И.

3. Сети Петри. Котов В.Е.

6