1. Основные понятия
Импликанта
Пусть для
определены множестваTfиFf.
Пусть для
определены множестваTφиFφ.
Если FφFf, тоφ– импликанта функцииfпо нулям.
Если TφTf, тоφ– импликанта функцииfпо единицам.
Собственная частьтерма – новый терм, полученный из исходного путем вычеркивания произвольного числа букв (символов).
Простая импликантафункцииf– импликанта функцииf, никакая собственная часть которой не является импликантой функцииf.
Минимальная форма ФАЛ– это неизбыточная дизъюнкция ее простых импликант.
Приведенная (неизбыточная) система простых импликант– система простых импликант, в которой ни одна импликанта не покрывается полностью набором других импликант данной системы.
Тупиковая ДНФ- это дизъюнкция простых импликант, из которых ни одна не является избыточной.
МКНФ (минимальная КНФ)- тупиковая КНФ с минимальным числом вхождений переменных (минимальным числом букв) по сравнению с другими тупиковыми формами этой функции.
2. Процедура минимизации по методу карт Карно
Правила минимизации с использованием карт Карно
1. В карте Карно группы единиц (для получения ДНФ) необходимо покрыть прямоугольными контурами. Внутри контура должны находится только единицы. Этот процесс соответствует операции склеивания или нахождения импликант данной функции.
2. Количество клеток внути контура должно быть целой степенью двойки (0, 1, 2, 4, 8, ...).
3. При проведении контуров крайние строки карты (верхние и нижние, левые и правые), а также угловые клетки, считаются соседними.
4. Каждый контур должен включать максимально возможное количество клеток. В этом случае он будет соответствовать простой импликанте.
5. Все единицы в карте (даже одиночные) должны быть охвачены контурами. Любая единица может входить в контуры произвольное количество раз.
6. Множество контуров, покрывающих все единицы функции, образуют тупиковую ДНФ.
7. В элементарной конъюнкции, которая соответствует одному контуру, остаются только те переменные, значение которых не изменяется внутри обведенного контура. Переменные булевской функции входят в элементарную коньюнкцию без инверсии, если их значение на соответствующих координатах равно 1 и с инверсией - если 0.
8. Склеиваться могут также смежные клетки, соседние или симметрично расположенные относительно какой-либо оси симметрии по горизонтали или по вертикали.
3. Минимизация фал
Карта Карно
х5
х4
х3
х2
х1
|
x x2x1 |
000 |
001 |
011 |
010 |
110 |
111 |
101 |
100 |
|
00 |
0
0 00000 |
0
4 00100 |
0
12 01100 |
1
8 01000 |
0
24 11000 |
0
28 11100 |
1
20 10100 |
0
16 10000 |
|
01 |
1
1 00001 |
1
5 00101 |
1
13 01101 |
1
9 01001 |
1
25 11001 |
0
29 11101 |
1
21 10101 |
1
17 10001 |
|
11 |
1
3 00011 |
1
7 00111 |
1
15 01111 |
1
11 01011 |
0
27 11011 |
0
31 11111 |
1
23 10111 |
1
19 10011 |
|
10 |
1
2 00010 |
1
6 00110 |
1
14 01110 |
1
10 01010 |
1
26 11010 |
0
30 11110 |
1
22 10110 |
1
18 10010 |
5x4x3
Для удобства представим карту Карно в следующем виде:
(циклический сдвиг столбцов на 2 вправо)
|
x x2x1 |
101 |
100 |
000 |
001 |
011 |
010 |
110 |
111 |
|
00 |
1
20 10100 |
0
16 10000 |
0
0 00000 |
0
4 00100 |
0
12 01100 |
1
8 01000 |
0
24 11000 |
0
28 11100 |
|
01 |
1
21 10101 |
1
17 10001 |
1
1 00001 |
1
5 00101 |
1
13 01101 |
1
9 01001 |
1
25 11001 |
0
29 11101 |
|
11 |
1
23 10111 |
1
19 10011 |
1
3 00011 |
1
7 00111 |
1
15 01111 |
1
11 01011 |
0
27 11011 |
0
31 11111 |
|
10 |
1
22 10110 |
1
18 10010 |
1
2 00010 |
1
6 00110 |
1
14 01110 |
1
10 01010 |
1
26 11010 |
0
30 11110 |
5x4x3
Полное покрытие
|
x x |
101 |
100 |
000 |
001 |
0 |
010 |
110 |
111 |
|
00 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
01 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
11 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
10 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
5x4x3
2x1
11
Как видно из рисунка, покрытия,
соответствующие простым импликантам
или
,
сами покрыты всеми остальными импликантами.
Следовательно, одна из них лишняя.
Полученная минимальная форма функции fвыглядит следующим образом:
Проверка
Построим прямоугольную таблицу истинности для полученной функции.
|
|
00 |
01 |
10 |
11 |
|
000 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
001 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
010 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
011 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
100 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
101 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
110 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
111 |
1 |
1 |
1 |
0 |
Таблица истинности полученной минимальной формы совпадает с исходной функцией. Минимальная форма построена верно.
Минимизация на гиперкубах