11.2. Ламинарное течение вязкопластичной жидкости в круглой трубе

В гл.7 был изложен общий подход к рассмотрению чисто сдвиговых ламинарных установившихся течений несжимаемой жидкости в круглых трубах. Рассмотрим теперь ламинарное течение неньютоновской вязкопластичной жидкости. Реологическое уравнение такой жидкости имеет вид:

(11.4)

где

(11.5)

предельное напряжение сдвига, достижение которого знаменует начало течения жидкости. Значения касательного напряжение изменяются по радиусу трубы, достигая максимального значения на стенке. Если, однако, , вязкопластичная жидкость не течет и, следовательно, в центре трубы должно существовать жесткое ядро, в котором эта жидкость движется как твердый стержень.

Распределение скорости по сечению трубы

Распределение скорости течения вязкопластичной жидкости по сечению трубы можно получить, если использовать формулы (7.11) гл.7 и (11.4). Имеем:

Учитывая, что

,

после несложных преобразований получаем:

где ради упрощения введено обозначение .

Обозначим посредством радиус жесткого ядра, на поверхности которого касательное напряжение равно минимально возможному значению , тогда

и распределение скоростей жидкости имеет вид:

(11.6)

Следовательно, эпюра скоростей состоит частью из поверхности параболоида вращения от стенки трубы до цилиндрической поверхности радиуса (ядра течения), частью из плоской площадки, перпендикулярной оси трубы (рис.11.5). В центральной части трубы вязкопластичная жидкость движется как твердый стержень.

Рис. 11.5. Схема течения вязкопластичной жидкости

Если в распределении (11.6) положить , т.е. считать, что предельное напряжение сдвига в жидкости отсутствует, а сама она является ньютоновской вязкой жидкостью ( ), то придем к ранее полученному распределению скоростей (7.16), в котором жесткое ядро исчезает.

Необходимое условие для начала течения жидкости Бингама-Шведова в круглой трубе. Поскольку в вязкопластичной жидкости существует предельное напряжение сдвига, то ее течение в круглой трубе может начаться лтшь тогда, когда кассательное напряжение станет больше . Отсюда получаем необходимое условие для начала течения этой жидкости в трубе:

, т.е. . (11.7)

Распределение (11.6) скорости жидкости справедливо только в том случае, если выпролнено условие (11.7).

Расход вязкопластичной жидкости

Для определения расхода вязкопластичной жидкости подставим выражение для из (11.4) в уравнение (7.15), см. гл.7:

Заменяя τ_а его выражением через Δр по формуле (7.8), получаем формулу Букингема

(11.8)

для расхода вязкопластичной жидкости. Заметим, что если , то , и формула (11.8) переходит в уже известную формулу Пуазейля (7.19) для ньютоновской вязкой жидкости.

Коэффициент гидравлического сопротивления

Если ввести в рассмотрение среднюю по сечению скорость течения жидкости, число Рейнольдса и так называемое число Ильюшина согласно равенствам

, и , (11.9)

где , то выражение (11.8) можно записать в привычной форме закона Дарси-Вейсбаха

,

где коэффициент гидравлического сопротивления. Если дополнительно учесть, что

,

то для коэффициента получим выражение:

. (11.10)

Если , то и, следовательно, , т.е. формула (11.10) переходит в известную формулу (7.28) Стокса для ламинарного течения вязкой жидкости. В общем случае произведение зависит от числа Ильюшина. Для того, чтобы найти это произведение, необходимо разрешить уравнение (11.10) относительно для каждого значения параметра И [ ].

Пример 1. По трубе с диаметром 100 мм и длиной 300 м требуется перекачивать глинистый раствор, необходимый для буровых работ. Известно, что глинистый раствор представляет собой неньютоновскую вязкопластичную жидкость, обладающую предельным напряжением сдвига = 15 Па, вязкостью = 0,012 и плотностью =1250 кг/м³. Определить расход раствора, если движущий перепад давлений равен 5 ат.

Решение. Сначала проверим, достаточен ли перепад давления в 5 ат. для возникновения течения жидкости в трубе. Для этого проверим выполнение необходимого условия (11.7); имеем:

,

следовательно, перепад давлений 5 ат. достаточен для возникновения течения в трубе с данными радиусом и длиной.

Для вычисления расхода воспользуемся формулой (11.8):

или .

11.3. Ламинарное течение степенной жидкости

в круглой трубе

Рассмотрим теперь ламинарное течение степенной неньютоновской жидкости в круглой трубе. Реологическое уравнение этой жидкости имеет вид:

где . (11.11)

Распределение скорости по сечению трубы

Подставляя функцию из (11.11) в (7.11), получаем:

Учитывая, что

,

получаем выражение для распределения скорости течения степенной жидкости по радиусу трубы:

. (11.12)

Максимальная скорость течения достигается, как и в случае вязкой жидкости, на оси трубы, т.е. при :

. (11.13)

Расход жидкости

Для вычисления расхода степенной жидкости подставим выражение из (11.11) в уравнение (7.15) гл.7, имеем:

(11.14)

Принимая во внимание, что , получаем выражение

(11.15)

для расхода степенной жидкости в круглой трубе. Заметим, что если , то , и формула (11.15) переходит в уже известную формулу Пуазейля (7.19) для ньютоновской вязкой жидкости