2.5 Передаточная функция объекта.
Передаточная функция равна отношению изображения по Лапласу выхода объекта к его входу при нулевых начальных условиях.
Для определения передаточной функции используем следующую команду:
[num,den]=ss2tf(A,B,C,D)
num =
0 0.0000 5.0000 -0.0000 -49.0000
den =
1.0000 -0.0000 -58.8000 0 0
Num и den – это коэффициенты числителя и знаменателя ПФ соответственно.
plant=tf(num,den)
Transfer function:
2.218e-014 s^3 + 5 s^2 - 1.291e-013 s - 49
------------------------------------------
s^4 - 2.665e-015 s^3 - 58.8 s^2
Ошибки вычислений привели к появлению исчезающе малых коэффициентов. Однако некоторые из них привели к завышению степени полинома числителя, что является качественной ошибкой.
Отредактируем коэффициенты полиномов вручную.
num1=[5 0 -49];
den1=[1 0 -58.8 0 0];
plant=tf(num1,den1)
Transfer function:
5 s^2 - 49
--------------
s^4 - 58.8 s^2
Приведем передаточную функцию объекта к факторизованной форме.
zpk(plant)
Zero/pole/gain:
5 (s-3.13) (s+3.13)
-----------------------
s^2 (s-7.668) (s+7.668)
Знаменатель передаточной функции представляет собой характеристический полином, корни которого в точности равны собственным значениям матрицы А.
roots(den1)
ans =
0
0
7.6681
-7.6681
3. Синтез регуляторов.
3.1 Синтез регулятора состояния.
Пусть доступна текущая информация о векторе состояния V. Тогда алгоритм формирования управляющих воздействий запишется так:
В результате охвата объекта регулятором состояния, как это изображено на рисунке 3.1, получим замкнутую систему.
f V
Рис. 3.1 Замкнутая система с регулятором состояния
Если из уравнений системы
исключим переменную f , то получим дифференциальное уравнение замкнутой системы в форме пространства состояний.
Матрица 
системы должна иметь желаемые собственные
значения, что обеспечивается выбором
матрицы k (если
пара А, В управляема).
Для выбора матрицы k имеется два подхода:
Размещение собственных значений;
Минимизация квадратичного функционала.
Выберем первый подход и назначим желаемые собственные значения в левой полуплоскости.
Здесь есть произвол. Выберем желаемые собственные значения ориентируясь на естественную динамику объекта.
p=[-1 -2 -3 -8]';
k=place(A,B,p)
k =
-0.9796 -24.5396 -4.7184 -1.9184
3.2 Синтез наблюдателя состояния объекта.
Регулятор состояния требует текущей
информации о полном векторе состояния.
Однако непосредственно измеряется
только положение каретки х. Возникает
задача вычисления в реальном времени
остальных переменных 
.
Недостаток текущей информации можно
частично скомпенсировать за счет
априорной информации о модели объекта.
Объект удовлетворяет необходимому и достаточному условию существования решения задачи синтеза наблюдателя – объект полностью наблюдаем.
На рисунке 3.2 изображена структурная схема наблюдателя Люенберга.
Рег. Сост.
f x
δx
f 
- +
ЭС
Модель объекта
Рис. 3.2 Структурная схема наблюдателя Люенберга
Наблюдатель представляет собой следящую систему, целью которой является, чтобы:
При этом состояние модели стремится к состоянию объекта.
Роль регулятора в наблюдателе играет матрица L, для поиска которой можно применить метод размещения собственных значений и использовать те же алгоритмы и программные средства, что и для синтеза регулятора состояния.
Назначим желаемые собственные значения наблюдателя в левой полуплоскости (наблюдатель должен быть устойчив), причем несколько дальше от собственных значений, назначенных при синтезе регулятора состояния. Это обеспечивает большее быстродействие процессов наблюдателя.
Матрицу L получим по команде:
p0=[-10 -12 -14 -16]';
L=place(A',C',p0)'
L =
1.0e+003 *
0.0520
-0.2364
-1.8239
1.0628