Лабораторная работа №6

Санкт-Петербургский Государственный Электротехнический Университет

Кафедра АПУ

Теория автоматического управления

Шестое практическое занятие

“Исследование типовых установившихся режимов систем автоматического регулирования. Определение установившихся ошибок систем с обратной связью при степенных и гармонических воздействиях.”

Выполнили:

Гр.1321:

Волох К.А.

Соловьев Д.

Петренко В.

Гюнтер А.

Проверил:

Душин С.Е.

Санкт-Петербург 2003г.

Задача 6.1. Для системы, структурная схема которой приведена на рис.1 с ПФ

W(s)=1/(1+Ts)³; W_R(s)=K_R; T=0.1c; K_R=1,

Рис. 1.

определить установившуюся ошибку: при ступенчатом воздействии f(t) = f₀1(t); при линейном воздействии g(t) = g₀t (принять значения f₀ = g₀ =1).

Определим ПФ разомкнутого контура системы:

W₀(s)=W_R(s)*W(s)=1*1/(1+Ts)³=1/(1+0.1s)³;

ПФ возмущающего и задающего воздействий в s-области:

f(t) = f₀1(t) ÷ F(s)=1/s; g(t) = g₀t ÷ G(s)=1/s²;

Определим изображение переменной ошибки:

Ф_eg(s)= -Ф_ef(s)=1/(1+ W₀(s))=(1+0.1s)³/[1+(1+0.1s)³];

E(s)=G(s)Ф_eg(s)+F(s)Ф_ef(s)

Т.к. ПФ Ф_eg(s) и Ф_ef(s) отличаются только знаком, достаточно рассмотрения одного из каналов.

E_f(s)=F(s)Ф_ef(s)=-F(s)*(1+0.1s)³/[1+(1+0.1s)³]=-[(0.001s³+0.03s²+0.3s+1)/(0.001s³+0.03s²+0.3s+2)]*

1/s;

e_y=lim e(t)=lim sE_f(s)=lim-[(0.001s³+0.03s²+0.3s+1)/(0.001s³+0.03s²+0.3s+2)]=-1/2=-0.5;

t->∞ s->0 s->0

E_g(s)=G(s)Ф_eg(s)=G(s)*(1+0.1s)³/[1+(1+0.1s)³]=[(0.001s³+0.03s²+0.3s+1)/(0.001s³+0.03s²+0.3s+2)]*1/s²;

e_y=lim e(t)=lim sE_g(s)=lim[(0.001s³+0.03s²+0.3s+1)/(0.001s³+0.03s²+0.3s+2)]/s=∞;

t->∞ s->0 s->0

Ответы:

1. Система, описанная выше имеет порядок астатизма равный 0, т.к у ПФ нет полюсов, равных 0;

2. Величину установившейся ошибки по возмущению определяет параметр K_R ПФ W₀(s), т.к. при увеличении K_R знаменатель ПФ ошибки в пределе при s->0 увеличивается, т.е общая ошибка уменьшается, и наоборот.

3. Противоречивость требований к малости установившейся и переходной составляющих ошибки системы заключается в том, что малость установившейся ошибки определяется соотношением числа интеграторов и степени воздействия, т.е чем больше порядок астатизма числа степени воздействия, тем меньше установившаяся ошибка, но при этом воздействие имеет большую степень, а значит должно порождать большую ошибку.

4. Минимальное значение установившейся ошибки по возмущению заданного вида равно lim 1/(1+k)=0; k=W₀(0)=K_R

k->∞

Задача 6.2. Для системы со структурной схемой из задачи 6.1 принять:

что соответствует ПИ-закону регулирования. Определить параметры настройки регулятора (коэффициент передачи k_R [с^-1] и время изодрома T_и [c], обеспечивающие устойчивость замкнутой системы. Построить зависимость установившейся ошибки при параболическом воздействии g(t) = 0.5t² от коэффициента k_R.

Определим ПФ замкнутой системы:

Ф(s)=W_R(s)*W(s)/[1+W_R(s)*W(s)]=[k_R(1+T_И*s)]/[s*s(s+1)]:[1+ k_R(1+T_И*s)/[s*s(s+1)]] =

= k_R(1+T_И*s)/[s²(s+1)+k_R(1+T_И*s)]= k_R(1+T_И*s)/[s³+s²+ k_R*T_И*s+k_R];

Устойчивость замкнутой системы по критерию Гурвица для системы третьего порядка обеспечивается при удовлетворении неравенства d₁d₂>d₀d₃, где d_n-коэффициенты при членах n-ой степени многочлена D(s);=> k_R*T_И-k_R*1>0; k_R>0 т.е T_И>1;

Определяем установившуюся ошибку как предел переменной ошибки:

E_g(s)=G(s)Ф_eg(s)=G(s)*s²(s+1)/[s²(s+1)+k_R(1+T_И*s)]= [1/s³]*s²(s+1)/[s²(s+1)+k_R(1+T_И*s)];

T_И-const>1;

E_g(s)=(s+1)/[s(s²(s+1)+k_R(1+T_И*s))]; e_y=lim (s+1)/[s²(s+1)+k_R(1+T_И*s)]=1/k_R;Т.е установившаяся

s->0

ошибка уменьшается с увеличением k_R

Ответы:

1) Минимальное значение установившейся ошибки по заданному воздействию заданного вида в пределе равно 0, при бесконечном увеличении k_R

2) Характер переходного процесса при воздействии g(t)=0.5t² можно проанализировать построив зависимость g(t)*Ф(s)= [1/s³]*k_R(1+T_И*s)/[s³+s²+ k_R*T_И*s+k_R]=k_R(1+T_И*s)/[s³(s³+s²+ k_R*T_И*s+k_R)]; С увеличением k_R Переходный процесс стремится к нулю.

3) Установившийся режим в системе при выборе T_И=1с. будет находиться на гранцие устойчивости. Т.е на выходе будут незатухающие колебания.

Задача 6.3. Для той же системы с ПИ-регулятором (см. ПФ W_R(s) в задаче 6.2) и ПФ объекта:

принять параметры настройки K_R = 100 c^-1, T_и = 1 c. Определить диапазоны частот задающего гармонического воздействия g(t), для которых относительная амплитуда установившейся ошибки A_e/A_g  0.01; A_e/A_g  1. Определить абсолютные значения амплитуды ошибки A_e для двух значений частоты ₀ воздействия в каждом из диапазонов, приняв A_g = 1.

A_e/A_g=|Ф_eg(jw₀)|; Ф_eg(jw)= 1/(1+ W₀(jw))=1/[1+100(1+s)/[s(10s+1)(0.01s+1)]]|_s=jw =[-10.01w²-jw(0.1w²-1)]/[(100-10.01w²)-jw(101-0.1w²)];

|Ф_eg(jw₀)|=√[100w⁴+w²(0.1w²-1)²]/√ [(100-10.01w²)²+w²(101-0.1w²)²];

С помощью программы CLASSIC получаем график ПФ |Ф_eg(s)| рис 2., и по графику определяем диапазон частот, удовлетворяющий условиям задачи.

w₁(A_e/A_g  0.01)=(0;0.32]

w₂(A_e/A_g  1)=[20;∞)

Абсолютные значения амплитуды ошибки A_e при A_g =1;

для диапазона w₁; A_e(0.2)=0.0044

для диапазона w₂; A_e(30)=1.053

Рис 2.

Ответы:

1) Система имеет порядок астатизма равный 1, т.к ПФ разомкнутого контура содержит один нулевой полюс.

2) На рис. 2 представлен график АЧХ (|Ф_eg(w)|); замкнутой системы по ошибке. На рис. 3 график ЛАЧХ.

Рис. 3.

3) При увеличении k_R в 10 раз диапазон частот w₁(A_e/A_g  0.01);

Ф_eg(s)=1/[1+k_R*W^*(s)]; => при увеличении k_R Ф_eg(s) на тех же частотах уменьшается , что приводит к к увеличению диапазона частот, при которых относительная ошибка меньше 0.01,

т.к она зависит от Ф_eg(s) и к уменьшению диапазона частот, при которых отн. ошибка равна 1; и наоборот, при уменьшении k_R в 10 раз диапазон частот w₁ уменьшается, а w₂ увеличивается.

Задача 6.4. Для системы из задачи 6.3 определить установившуюся ошибку при экспоненциальном воздействии

e_y=lim s*E(s)=s*G(s)*[1/(1+W₀(s))]=[s/(s+0.1)]*[0.1s³+10.01s²+s]/[0.1s³+10.01s²+101s+100]=

s->0

=0

Воздействие g(t) очень быстро затухает, в установившемся режиме влияние воздействия стремится к нулю и lim e(t)=lim g(t) – lim y(t)=0.;y(t)=H(t)*g(t).

t->∞ t->∞ t->∞

Ответы:

1) Реакция системы на быстро затухающее воздействие (стремится к 0) тоже является затухающей.(стремится к 0)

2) Если регулятор реализует закон W_R(s)=k_R, величина установившейся ошибки будет:

e_y=lim s*E(s)=s*G(s)*[1/(1+W₀(s))]=[s/(s+0.1)]*[0.1s²+10.01s+1]/[0.1s²+10.01s+k_R+1]=0

s->0

Задача 6.5. Чему равна установившаяся ошибка в системе из задачи 6.3 при возмущающем воздействии вида

при использовании П- и ПИ-регулятора? Численное значение коэффициента k_R принять равным 100.

При использовании П – регулятора установившаяся ошибка вычисляется сл.образом:

e_y=lim s*E(s)=s*F(s)*[-1/(1+W₀(s))]=[1/(s+0.1)]*[0.1s²+10.01s+1]/[0.1s²+10.01s+101]=-0.099

s->0

При использовании ПИ – регулятора:

e_y=lim s*E(s)=s*F(s)*[1/(1+W₀(s))]=[1/(s+0.1)]*[0.1s³+10.01s²+s]/[0.1s³+10.01s²+101s+100]=

s->0

=0

Возмущающее воздействие f(t) имеет постоянную составляющую, поэтому воздействие не затухающее, а стремится к постоянному. ПФ воздействия имеет один нулевой полюс, что позволяет при использовании П-регулятора иметь ненулевую установившуюся ошибку.

Задача 6.6. Определить установившуюся ошибку системы в условиях задачи 6.5, если возмущающее воздействие того же типа действует на входе объекта.

Так как воздействие приложено к объекту, то ПФ системы по ошибке будет:

Ф_ef(s)=W(s)/[1+ W_R(s)*W(s)];

Для П-регулятора:

e_y=lim s*E(s)=s*F(s)*Ф_ef(s)=-[1/(s+0.1)]*1/[0.1s²+10.01s+101]=-0.099

s->0

Для ПИ-регулятора

e_y=lim s*E(s)=s*F(s)*Ф_ef(s)=[1/(s+0.1)]*s/[0.1s³+10.01s²+101s+100]=0

s->0