Лабораторная работа №6
.docСанкт-Петербургский Государственный Электротехнический Университет
Кафедра АПУ
Теория автоматического управления
Шестое практическое занятие
“Исследование типовых установившихся режимов систем автоматического регулирования. Определение установившихся ошибок систем с обратной связью при степенных и гармонических воздействиях.”
Выполнили:
Гр.1321:
Волох К.А.
Соловьев Д.
Петренко В.
Гюнтер А.
Проверил:
Душин С.Е.
Санкт-Петербург 2003г.
Задача 6.1. Для системы, структурная схема которой приведена на рис.1 с ПФ
W(s)=1/(1+Ts)3; WR(s)=KR; T=0.1c; KR=1,
Рис. 1.
определить установившуюся ошибку: при ступенчатом воздействии f(t) = f01(t); при линейном воздействии g(t) = g0t (принять значения f0 = g0 =1).
Определим ПФ разомкнутого контура системы:
W0(s)=WR(s)*W(s)=1*1/(1+Ts)3=1/(1+0.1s)3;
ПФ возмущающего и задающего воздействий в s-области:
f(t) = f01(t) ÷ F(s)=1/s; g(t) = g0t ÷ G(s)=1/s2;
Определим изображение переменной ошибки:
Фeg(s)= -Фef(s)=1/(1+ W0(s))=(1+0.1s)3/[1+(1+0.1s)3];
E(s)=G(s)Фeg(s)+F(s)Фef(s)
Т.к. ПФ Фeg(s) и Фef(s) отличаются только знаком, достаточно рассмотрения одного из каналов.
Ef(s)=F(s)Фef(s)=-F(s)*(1+0.1s)3/[1+(1+0.1s)3]=-[(0.001s3+0.03s2+0.3s+1)/(0.001s3+0.03s2+0.3s+2)]*
1/s;
ey=lim e(t)=lim sEf(s)=lim-[(0.001s3+0.03s2+0.3s+1)/(0.001s3+0.03s2+0.3s+2)]=-1/2=-0.5;
t->∞ s->0 s->0
Eg(s)=G(s)Фeg(s)=G(s)*(1+0.1s)3/[1+(1+0.1s)3]=[(0.001s3+0.03s2+0.3s+1)/(0.001s3+0.03s2+0.3s+2)]*1/s2;
ey=lim e(t)=lim sEg(s)=lim[(0.001s3+0.03s2+0.3s+1)/(0.001s3+0.03s2+0.3s+2)]/s=∞;
t->∞ s->0 s->0
Ответы:
-
Система, описанная выше имеет порядок астатизма равный 0, т.к у ПФ нет полюсов, равных 0;
-
Величину установившейся ошибки по возмущению определяет параметр KR ПФ W0(s), т.к. при увеличении KR знаменатель ПФ ошибки в пределе при s->0 увеличивается, т.е общая ошибка уменьшается, и наоборот.
-
Противоречивость требований к малости установившейся и переходной составляющих ошибки системы заключается в том, что малость установившейся ошибки определяется соотношением числа интеграторов и степени воздействия, т.е чем больше порядок астатизма числа степени воздействия, тем меньше установившаяся ошибка, но при этом воздействие имеет большую степень, а значит должно порождать большую ошибку.
-
Минимальное значение установившейся ошибки по возмущению заданного вида равно lim 1/(1+k)=0; k=W0(0)=KR
k->∞
Задача 6.2. Для системы со структурной схемой из задачи 6.1 принять:
что соответствует ПИ-закону регулирования. Определить параметры настройки регулятора (коэффициент передачи kR [с-1] и время изодрома Tи [c], обеспечивающие устойчивость замкнутой системы. Построить зависимость установившейся ошибки при параболическом воздействии g(t) = 0.5t2 от коэффициента kR.
Определим ПФ замкнутой системы:
Ф(s)=WR(s)*W(s)/[1+WR(s)*W(s)]=[kR(1+TИ*s)]/[s*s(s+1)]:[1+ kR(1+TИ*s)/[s*s(s+1)]] =
= kR(1+TИ*s)/[s2(s+1)+kR(1+TИ*s)]= kR(1+TИ*s)/[s3+s2+ kR*TИ*s+kR];
Устойчивость замкнутой системы по критерию Гурвица для системы третьего порядка обеспечивается при удовлетворении неравенства d1d2>d0d3, где dn-коэффициенты при членах n-ой степени многочлена D(s);=> kR*TИ-kR*1>0; kR>0 т.е TИ>1;
Определяем установившуюся ошибку как предел переменной ошибки:
Eg(s)=G(s)Фeg(s)=G(s)*s2(s+1)/[s2(s+1)+kR(1+TИ*s)]= [1/s3]*s2(s+1)/[s2(s+1)+kR(1+TИ*s)];
TИ-const>1;
Eg(s)=(s+1)/[s(s2(s+1)+kR(1+TИ*s))]; ey=lim (s+1)/[s2(s+1)+kR(1+TИ*s)]=1/kR;Т.е установившаяся
s->0
ошибка уменьшается с увеличением kR
Ответы:
1) Минимальное значение установившейся ошибки по заданному воздействию заданного вида в пределе равно 0, при бесконечном увеличении kR
2) Характер переходного процесса при воздействии g(t)=0.5t2 можно проанализировать построив зависимость g(t)*Ф(s)= [1/s3]*kR(1+TИ*s)/[s3+s2+ kR*TИ*s+kR]=kR(1+TИ*s)/[s3(s3+s2+ kR*TИ*s+kR)]; С увеличением kR Переходный процесс стремится к нулю.
3) Установившийся режим в системе при выборе TИ=1с. будет находиться на гранцие устойчивости. Т.е на выходе будут незатухающие колебания.
Задача 6.3. Для той же системы с ПИ-регулятором (см. ПФ WR(s) в задаче 6.2) и ПФ объекта:
принять параметры настройки KR = 100 c-1, Tи = 1 c. Определить диапазоны частот задающего гармонического воздействия g(t), для которых относительная амплитуда установившейся ошибки Ae/Ag 0.01; Ae/Ag 1. Определить абсолютные значения амплитуды ошибки Ae для двух значений частоты 0 воздействия в каждом из диапазонов, приняв Ag = 1.
Ae/Ag=|Фeg(jw0)|; Фeg(jw)= 1/(1+ W0(jw))=1/[1+100(1+s)/[s(10s+1)(0.01s+1)]]|s=jw =[-10.01w2-jw(0.1w2-1)]/[(100-10.01w2)-jw(101-0.1w2)];
|Фeg(jw0)|=√[100w4+w2(0.1w2-1)2]/√ [(100-10.01w2)2+w2(101-0.1w2)2];
С помощью программы CLASSIC получаем график ПФ |Фeg(s)| рис 2., и по графику определяем диапазон частот, удовлетворяющий условиям задачи.
w1(Ae/Ag 0.01)=(0;0.32]
w2(Ae/Ag 1)=[20;∞)
Абсолютные значения амплитуды ошибки Ae при Ag =1;
для диапазона w1; Ae(0.2)=0.0044
для диапазона w2; Ae(30)=1.053
Рис 2.
Ответы:
1) Система имеет порядок астатизма равный 1, т.к ПФ разомкнутого контура содержит один нулевой полюс.
2) На рис. 2 представлен график АЧХ (|Фeg(w)|); замкнутой системы по ошибке. На рис. 3 график ЛАЧХ.
Рис. 3.
3) При увеличении kR в 10 раз диапазон частот w1(Ae/Ag 0.01);
Фeg(s)=1/[1+kR*W*(s)]; => при увеличении kR Фeg(s) на тех же частотах уменьшается , что приводит к к увеличению диапазона частот, при которых относительная ошибка меньше 0.01,
т.к она зависит от Фeg(s) и к уменьшению диапазона частот, при которых отн. ошибка равна 1; и наоборот, при уменьшении kR в 10 раз диапазон частот w1 уменьшается, а w2 увеличивается.
Задача 6.4. Для системы из задачи 6.3 определить установившуюся ошибку при экспоненциальном воздействии
ey=lim s*E(s)=s*G(s)*[1/(1+W0(s))]=[s/(s+0.1)]*[0.1s3+10.01s2+s]/[0.1s3+10.01s2+101s+100]=
s->0
=0
Воздействие g(t) очень быстро затухает, в установившемся режиме влияние воздействия стремится к нулю и lim e(t)=lim g(t) – lim y(t)=0.;y(t)=H(t)*g(t).
t->∞ t->∞ t->∞
Ответы:
1) Реакция системы на быстро затухающее воздействие (стремится к 0) тоже является затухающей.(стремится к 0)
2) Если регулятор реализует закон WR(s)=kR, величина установившейся ошибки будет:
ey=lim s*E(s)=s*G(s)*[1/(1+W0(s))]=[s/(s+0.1)]*[0.1s2+10.01s+1]/[0.1s2+10.01s+kR+1]=0
s->0
Задача 6.5. Чему равна установившаяся ошибка в системе из задачи 6.3 при возмущающем воздействии вида
при использовании П- и ПИ-регулятора? Численное значение коэффициента kR принять равным 100.
При использовании П – регулятора установившаяся ошибка вычисляется сл.образом:
ey=lim s*E(s)=s*F(s)*[-1/(1+W0(s))]=[1/(s+0.1)]*[0.1s2+10.01s+1]/[0.1s2+10.01s+101]=-0.099
s->0
При использовании ПИ – регулятора:
ey=lim s*E(s)=s*F(s)*[1/(1+W0(s))]=[1/(s+0.1)]*[0.1s3+10.01s2+s]/[0.1s3+10.01s2+101s+100]=
s->0
=0
Возмущающее воздействие f(t) имеет постоянную составляющую, поэтому воздействие не затухающее, а стремится к постоянному. ПФ воздействия имеет один нулевой полюс, что позволяет при использовании П-регулятора иметь ненулевую установившуюся ошибку.
Задача 6.6. Определить установившуюся ошибку системы в условиях задачи 6.5, если возмущающее воздействие того же типа действует на входе объекта.
Так как воздействие приложено к объекту, то ПФ системы по ошибке будет:
Фef(s)=W(s)/[1+ WR(s)*W(s)];
Для П-регулятора:
ey=lim s*E(s)=s*F(s)*Фef(s)=-[1/(s+0.1)]*1/[0.1s2+10.01s+101]=-0.099
s->0
Для ПИ-регулятора
ey=lim s*E(s)=s*F(s)*Фef(s)=[1/(s+0.1)]*s/[0.1s3+10.01s2+101s+100]=0
s->0