8 Матриці і визначники . Матричний спосіб розв.Систем лінійних р-нь та формули Крамера.

Будь-яка система (1) повністю характеризується своїми ко­ефіцієнтами і вільними членами. Якщо у системі (1) опустити х_і , знаки "+" і "=", зберігаючи по­рядок розташування коефіцієнтів і вільних членів, то одержимо таблицю еле­ментів, яка називається матрицею і позначається:

(1')

Означення 5. Елементарними перетвореннями матриці називаються такі перетворення:

1. заміна місцями двох рядків;

2. викреслювання нульового рядка;

3. множення рядка матриці на  0;

4. додавання до одного рядка другого, помноженого на .

З усього попереднього випливає, що виконання елементарних перетворень над рівняннями системи співпадає з аналогічними перетвореннями над рядками матриці.

Очевидно, що трикутна система лінійних рівнянь (2) характери­зується трикутною матрицею:

Ступінчаста система лінійних рівнянь характеризується ступінчастою матри­цею:

Оскільки, трикутна або ступінчаста системи розв’язуються дуже легко, то за допомогою елементарних перетворень систему (1) зводять до трикут­ної або ступінчастої. Для цього у системі (1) спочатку виключаємо х₁ по­чинаючи з дру­го­го рівняння, потім х₂ – починаючи з третього рівняння і т.д. Сказане рівносильно зведенню матриці (1') до трикутної або ступінчастої за допомогою елементарних перетворень матриць. Опи­саний метод розв’язування системи на­зивається методом Гаусса.

Приклад 1. Розв’язати систему лінійних рівнянь:

Розв’язання. Даній системі відповідає матриця, яку зведемо мето­дом Га­усса до ступінчаcтого вигляду:

Так як система містить рівняння то вона не­сумісна.

9 n-вимірні вектори і операції над ними. Арифметичний векторний простір

Нехай Р—довільне числове поле. Числа цього поля будемо позна­чати ма­ли­ми латинськими буквами. Нехай n—фіксоване натуральне число.

Означення 1. Будь-яка упорядкована система n чисел із поля Р називається n-вимірним вектором; числа називаються його коорди­на­тами (компонентами).Символічно n-вимірний вектор будемо записувати так: .

Число n називається розмірністю вектора а.

Означення 2. Два n-вимірні вектори і називаються рівними між собою (пишуть: а=b) тоді і тільки тоді, коли їх відповідні компоненти рівні, тобто , , …, .

Розглянемо тепер множину F_n всіх n-вимірних векторів з координа­тами із поля Р

Означення 3. Сумою векторів і на­зива­ється вектор і позначається с=а+b.

Означення 4. Під добутком числа на вектор ро­зуміють вектор

Якщо вектор помножити на , то матимемо вектор, який називається протилежним до а і позначається через  

Означення 5. Множина F_n всіх n-вимірних векторів з координатами із поля Р, з введеними діями додавання векторів і множення вектора на число, нази­вається n-вимірним арифметичним простором над полем Р.

.Лінійна залежність і лінійна незалежність скінченої системи векторів, властивості

Нехай: — довільна система векторів із простору Fn.

Означення 1. Сума виду , де P, – поле називається лінійною комбінацією системи векторів Скаляри називаються коефіцієнтами лінійної комбінації.

Означення 2. Множина всіх лінійних комбінацій векторів системи називається лінійною оболонкою цієї системи і позначається через L( ).

Означення 3. Множина векторів однієї розмірності називається лінійно залежною, якщо існують такі скаляри , серед яких хоча б один не дорівнює нулю, що задовольняють рівності : .

Означення 4. Множина векторів ,…, називається лінійно незалежною, якщо рівність

,можлива тільки при .

Розглянемо властивості лінійної залежності і незалежності системи векторів.

Властивість 1. Система векторів, яка містить нульовий вектор, лінійно за­лежна.

Властивість 2. Система векторів — лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли хоч один із векторів цієї системи являється лінійною комбінацією інших векторів цієї системи.

Властивість 3. Якщо система векторів лінійно незалежна, а сис­тема векторів

лінійно залежна, то вектор b лінійно виражається через вектори і причому єдиним чином.

Властивість 4. Система векторів лінійно залежна, якщо яка-небудь її підсистема лінійно залежна.

Властивість 5. Якщо і то

Властивість 6. Якщо то система векторів лінійно залежна.

Базис і ранг скінченої системи векторів