7 Системи лінійних рівнянь. Рівносильні системи рівнянь і елементарні перетворення. Метод Гаусса

У загальному випадку систему записують так:

(1)

де коефіцієнти і вільні члени — - поле

.Означення 1. Вектор називається розв’язком сис­теми рівнянь (1), якщо вірні рівності

Означення 2. Система (1) називається сумісною, якщо вона має хоч один розв’язок. Система (1) називається несумісною, якщо вона не має розв’язків.

Якщо система (1) містить рівняння

де b 0, то вона несумісна.

Система лінійних рівнянь виду

(2)

де називається трикутною. Очевидно, що вона має один розв’язок. Система лінійних рівнянь виду

(3)

де називається ступінчастою. Очевидно, що вона має безліч розв’язків. Знаходити розв’язки систем (2) і (3) треба, піднімаючись знизу вгору.

Отже, система (1) може бути несумісною, якщо вона не має розв’язків, або сумісною і мати один або безліч розв’язків.

Означення 3. Дві системи лінійних рівнянь називаються рівносильними, якщо кожен розв’язок однієї системи є розв’язком другої системи і навпаки.

--Означення 4. Елементарними перетвореннями системи лінійних рівнянь називаються такі перетворення:

1. заміна місцями двох рівнянь;

2. викреслювання рівняння виду:

3. множення обох частин рівняння на  0;

4. додавання до обох частин одного рівняння відповідних частин другого рівняння помножених на .

Теорема. При кожному елементарному перетворенні системи лінійних рівнянь одержується система лінійних рівнянь, рівносильна початковій системі.

Доведення. Очевидно, що елементарні перетворення 1); 2) і 3) типу не порушують рівносильності системи. Переконаємося, що перетворення 4) типу не порушує рівносильності системи (1), тобто, що система (1) і система

(4)

яка одержана із (1) додаванням до другого рівняння першого, помноженого на рівносильні.

Нехай —довільний розв'язок (1), тоді мають місце рівності:

Очевидно, що системи (1) та (4) відрізняються тільки другим рівнянням.

Якщо помножити обидві частини першої рівності на і додати до відповідних частин другої рівності, то побачимо, що є розв’язком системи (4).

Навпаки, нехай — довільний розв’язок системи (4). Тоді:

Переконаємося, що задовольняє і систему (1). Для цього обидві частини першої рівності помножимо на ( ) і додамо до відповідних час­тин другої рівності. Одержимо, що – розв’язок системи (1).

Теорема доведена.

Метод Гауса.

Оскільки, трикутна або ступінчаста системи розв’язуються дуже легко, то за допомогою елементарних перетворень систему (1) зводять до трикут­ної або ступінчастої. Для цього у системі (1) спочатку виключаємо х₁ по­чинаючи з дру­го­го рівняння, потім х₂ – починаючи з третього рівняння і т.д. Сказане рівносильно зведенню матриці (1') до трикутної або ступінчастої за допомогою елементарних перетворень матриць. Опи­саний метод розв’язування системи на­зивається методом Гаусса.

Приклад 1. Розв’язати систему лінійних рівнянь:

Розв’язання. Даній системі відповідає матриця, яку зведемо мето­дом Га­усса до ступінчаcтого вигляду:

Так як система містить рівняння то вона не­сумісна.