Отже, підмножина |k1| кільця k являється підкільцем цього кільця, якщо |k1| є кільце відносно операцій додавання, віднімання і множення, визначених в кільці k. Гомоморфізми та ізоморфізми кілець

Розглянемо два кільця: K = < |K| , + , – , · >; K₁= < |K₁|, , ,  >.

Означення 1. Гомоморфізмом або гомоморфним відображенням кільця K в кільце K₁ називається будь-яке відображення : |K| |K₁|, кільця K в кільце K_1, яке задовольняє умовам:

1. a, b |K| [ (a+b)= (а)   (b)];

2) a, b |K| [ (a·b)= (а)   (b)].

5 Означення і приклади полів. Найпростіші властивості полів

В будь–якому кільці виконується операція віднімання – обернена операції додавання. Про виконання ділення – операції, оберненій множенню, в означенні кільця не говориться нічого. Разом з тим, важливу роль в математиці відіграють комутативні кільця, в яких виконується операція ділення, крім ділення на нуль. Їх називають полями.

Означення 1. Комутативне кільце Р = < |P|, + , – ,·> називається полем, як­що в ньому міститься хоч один елемент, відмінний від нуля, і якщо в ньому виконується операція ділення, крім ділення на нуль,тобто

 a  0, b P [рівняння ax=b має єдиний розв’язок в P].

Властивості.

 1. Так як поле є комутативне кільце, то всі властивості ко­мутативного кільця є властивостями поля

2. Кожне поле містить одиницю і притому тільки одну

3. Для будь-якого елемента a існує обернений елемент і прито­му тільки один. Справді, рівняння ax=e має розвязок x= a^–1, бо aa^–1=a^–1a=e. Отже, обернений елемент до a існує. Доведемо єдиність оберненого до а елемента. Нехай крім а^–1 існує ще один елемент u, обернений до а, тобто такий, при якому au=ua=e.

Тоді маємо:

u = ue = u(aa^–1) = (ua)a^–1 = ea^–1 = a^–1,

що й доводить однозначність оберненого елемента.

Означення 2. Підмножина А поля Р називається підполем поля Р, якщо вона сама є полем відносно тих самих головних операцій + (додавання) і · (мно­ження), заданих у полі Р.

Приклади. 1. Поле Q раціональних чисел буде підполем поля R дійсних чисел.

2. Поле < Q [ ], + , – , · > буде підполем поля R дійсних чисел.

Означення 3. Полем дійсних чисел називається будь-яке упорядковане поле, в якому кожна обмежена зверху множина його елементів має точну верхню межу.

Позначатимемо поле дійсних чисел символом R. Елементи поля R називаються дійсними числами.

Записане означення подано в стислій формі. Насправді воно складається з аксіом, що визначають поле, аксіом упорядкованості поля й аксіоми точної верхньої межі. У розгорнутому вигляді його формулюють так: полем дійсних чисел називається будь-яка множина R= {a,b,c,…}, що містить принаймі два різ­них елементи, в якій означено дві бінарні операції – додавання і множення, й введено відношення a < b (“a менше b”), причому виконуються такі аксіоми:

Аксіоми поля

1. (комутативність додавання).

2. (асоціативність додавання).

3. (здійсненність операції відні­мання).

4. (комутативність множення).

5. (асоціативність множення).

6. (дистрибутивність множення відносно додавання).

7. , (здійсненність операції ділення, крім ділення на нуль).

Аксіоми упорядкованості поля

8. справедливе одне і тільки одне із співвідношень:

a=b, a<b, b<a.

9. (транзитивність відношення ).

10. (монотонність додавання).

11. (монотонність множення).

Аксіома точної верхньої межі

12. Кожна обмежена зверху множина має в точну верхню межу.

Зауважимо, що система аксіом поля дійсних чисел несуперечлива, повна і незалежна.

У полі дійсних чисел мають місце всі властивості будь-якого поля, а також властивості, які випливають із аксіом упорядкованості поля.