16 Канонічний розклад числа у вигляді добутку.

Див. п 15. Т.: « Будь-яке ціле число більше 1, розкладається в добуток простих чисел при чому єдиним чином, якщо не враховувати порядок множників ». Дов. Використаємо метод математичної індукції. Оскільки числа 2, 3 – прості, то теорема справедлива для цих значень. Нехай натуральне і кожне ціле число менше за , єдиним чином можна представити у вигляді добутку простих чисел. Доведемо, спочатку, що може бути розкладено в добуток простих чисел. Якщо - просте, то шуканий добуток складається із одного множника, якщо ж ні то за теоремою, що говорить: будь-яке складене число має своїм найменшим дільником – просте число, то - просте, таке, що , оскільки то оскільки, кожне ціле число < n розкладається на прості множники, то і число n – також розкладається на множники. Існування розкладу доведено.

Припустимо, що можливі два варіанта розкладу числа: , . Із рівності та означення простих чисел випливає,(не порушуючи загальності) що , то скоротивши ми ортимаємо : , а остання рівність можлива тальки тоді, коли всі , тобто числа , , тобто їх при розкладі не буде  представлення через співпадає із представленням числа через . Т. довед.

17. Озн. І основні вл-ті конгруентності цілих чисел. Повна і зведена система лишків, їх властивості. Теорема Ейлера і Ферма.

Озн: два числа a i b наз конгруентними за модулем m, якщо вони при діленні на m мають однакову остачу

Теорема: конгруенція рівносильна

1) 2)

Доведення:Нехай

, тобто . Справедливо і навпаки. Теорема доведена.

Властивості:

1) відношення конгруентності є відношення еквівалентності (рефлексивне, симетричне, транзитивне)

2) конгруенції за одним модулем можна почленно додавати.

Справді (1) (2)

………………. ………………..

(1)+(2)

Отже,

Висновок І: з однієї частини конгруенції в іншу можна перенести доданок з протилежним знаком.

Висновок ІІ: до обох частин конгруенції можна додати один доданок.

Висновок ІІІ: до однієї частини конгруенції можна додати число кратне модулю.

3) конгруенції за одним модулем можна множити.

Доведення: із системи конгруенції (1) запишемо систему рівностей (2). Перемножуючи рівності системи (2), отримаємо: . Звідси слідує, що .

Висновок І: обидві частини можна помножити на одне й те ж саме число.

Висновок ІІ: обидві частини конгруенції можна піднести до одного степеня.

4) якщо ,

5) обидві частини конгруенції можна поділити на одне й те саме число взаємно просте з модулем

6) обидві частини конгруенції і її модуль можна помножити на одне й те саме число

7) обидві частини конгруенції і модуль можна розділити на їх СД

8) якщо одна частина конгруенції і її модуль мають СД, то і друга частина ділиться на нього

Повна система лишків (ПСЛ)

Візьмемо з кожного класу лишків за модулем m по одному представнику. Утворену систему наз ПСЛ. Найчастіше за ПСЛ беруть

1) найменші невід’ємні за модулем

2) найбільші неподатні за модулем

3) найменші за модулем

Властивості:

1) будь-які m попарно не конгруентних чисел утворюють ПСЛ.

Доведення: так як числа попарно не конгруентні, то вони належать різним класам. А так як їх m, то вони взяті з кожного класу. Отже, вони будуть ПСЛ.

2) , якщо x пробігає ПСЛ, то й ax+b пробігає ПСЛ.

Зведена система лишків (ЗСЛ)-це сукупність чисел, взятих із представників класів лишків,які є взаємно простими з m

Нехай маємо модуль m, – функція Ейлера.

Властивості:

1) будь-які попарно не конгруентні і взаємно прості з модулем чисел утворюють ЗЛС

2) якщо і х пробігає ЗЛС, то ах пробігає ЗЛС.

Теорема Ейлера:

Доведення: нехай х пробігає ЗЛСm, тоді згідно властивості 2 ЗЛС ах теж пробігає ЗЛСm, тобто

Конгруенції за одним модулем можна перемножити:

, так як

Теорема Ферма: m-p – просте

Так як , за теоремою Ейлера

.