1 Питання. Бінарні відношення.Відношення еквівалентності і розбиття на класи , фактор множина.

Означення 4. Бінарним відношенням між елементами множин A і B нази­вається будь-яка підмножина прямого добутку А B (тобто впорядкованы пари).

Найважливіші бінарні відношення мають певні назви і позначення: відношення рівності ( = ), паралельності ( ), перпендикулярності (), подільності ( ), включення ( ), подібності (  ) і т. п. Для багатьох відношень немає потреби вводити спеціальні назви і позначення. Домовимося бінарні відношення позначати малими грецькими буквами , , і т. д., або цими самими буквами з індексами.

Таким чином, згідно з означенням, кожне бінарне відношення – це якась сукупність впорядкованих пар елементів. Отже, будь-яка підмножина прямого добутку А B буде бінарним відношенням між елементами множин. Це так би мовити означення з “ запасом ”. Фактично при вивченні конкретних множин А і В інтерес становлять лише деякі такі підмножини, які мають певні характеристичні особливості своїх елементів. Якщо якась пара елементів а і b знаходиться у деякому відношенні , то це позначають так: (a, b) , або a b. Будемо говорити, що елемент а знаходиться у відношенні до елемента b, або для а і b виконується відношення , або а і b зв’язані відношенням .

Означення 7. Бінарне відношення ρ називається відношенням еквівалент­ності, якщо воно рефлексивне, симетричне і транзитивне.

Приклади. 1. Еквівалентними є, наприклад, такі відношення: рівності ( = ); паралельності ( ); подібності (  ).

2. Відношення ={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)} є відношенням еквівалентності.

3. Розглянемо множину цілих чисел Z. Візьмемо фіксоване натуральне число т . Визначимо у множині Z відношення  так: ={ }. Отже,  ZZ i (a,b) означає, що . Тоді:

1.Відношення  рефлексивне. Справді, якщо а Z, то (а,а) , бо а–а=0 .

2. Відношення симетричне. Справді, якщо (a,b) , тобто , то b – a теж ділиться на т і, отже, (b,a) .

3. Відношення  транзитивне. Справді, нехай (a,b) і (b,c) , тобто і . Тоді а – с=(a – b)+ , тобто (а,с) .

Отже, відношення є відношенням еквівалентності. Його називають відношенням конгруентності чисел і замість (a,b) або а b записують: (читають: “а конгруентне з b за модулем т”).

Означення 8. Нехай ρ (ρАА) – відношення еквівалентності і аА. Кла­сом еквівалентності, породженим елементом а, називається множина {x x ρ a   xA}, тобто множина всіх таких х із А, що (х,а)ρ.

Клас еквівалентності, породжений елементом а, позначають так: [a], або [a]_ρ. Отже, за означенням [a]={x (x,a)ρ  xA}.

Означення 9. Розбиттям непорожньої множини А називається сукупність S непорожніх підмножин множини А таких, що кожний елемент множини A належить одній і тільки одній підмножині з S.

Теорема 1. Довільні два класи еквівалентності за відношенням  або збігаються , або не мають спільних елементів.

Доведення. Припустимо, що класи еквівалентності [a] і [b] мають спільний елемент c, c [a] і c [b], тобто (c, a)  (c, b)  . Переконаємося, що в цьому випадку [a]=[b]. Якщо x – довільний елемент з класу [a], то (x, a)  . Згідно симетричності , так як (c, a)  , то і (а,с)  . За властивістю транзитивності випливає , що (x, c) . Далі маємо: (x, c) (c, b) (x, b) x [b]. Отже, x [a] x [b], тобто [a] [b]. Так само встановлюємо, що [b] [a], звідки й виходить, що[a]=[b].

Фа́ктор-множино́ю множини     за заданим відношенням еквівалентності  ~, називається множина всіх класів еквівалентності множини  , утворених цим відношенням. Позначається   . Фактор-множина визначає розбиття множини на підмножини (класи еквівалентності), які попарно неперетинаються.